Primfaktorzerlegung

Primfaktorzerlegung

Primzahlen kennst du schon: Es sind die Zahlen, die genau zwei Teiler haben. Primzahlen sind nur durch 1 und durch sich selbst teilbar.

Die Zahl 1 ist keine Primzahl. Sie hat nur einen Teiler, die 1.

Das sind alle Primzahlen, die kleiner als 100 sind:

$$2$$ $$3$$ $$5$$ $$7$$
$$11$$ $$13$$ $$17$$ $$19$$
$$23$$ $$29$$
$$31$$ $$37$$
$$41$$ $$43$$ $$47$$
$$53$$ $$59$$
$$61$$ $$67$$
$$71$$ $$73$$ $$79$$
$$83$$ $$89$$
$$97$$

Du kannst alle natürlichen Zahlen als Produkt von Primzahlen schreiben. Klingt erstmal nicht so spannend, kann aber praktisch zum Rechnen sein.

Beispiele:
Die Zahlen 15 und 66 mit ihrer Primfaktorzerlegung:

$$15=3*5$$

$$66=2*3*11$$

Rechts vom $$=$$ stehen nur Primzahlen: 3 und 5 für die 15 oder 2 und 3 und 11 für die 66.

Jede natürliche Zahl, die selbst keine Primzahl ist, kannst du in ein Produkt von Primzahlen zerlegen.

Selber Primfaktorzerlegung finden

Wie findest du die Primfaktorzerlegung einer Zahl?

Aufgabe: Schreibe 108 als Produkt von Primzahlen.

Finde eine Zahl, durch die die 108 teilbar ist. 108 ist eine gerade Zahl, also ist sie durch 2 teilbar.

$$108 = 2*54$$

54 ist auch gerade. Also teile 54 durch 2.

$$108 = 2*2*27$$

Die Zahl 27 ist durch 3 teilbar. Teile 27 durch 3.

$$108 = 2*2*3*9$$

Die Zahl 9 ist durch 3 teilbar

$$108=2 * 2 * 3 * 3 * 3$$

Die Faktoren rechts kannst du nicht weiter zerlegen. Das sind jetzt alles Primzahlen.

Schreibe die Primfaktorzerlegung noch kürzer auf: mit der Potenzschreibweise.

$$108 = 2^2* 3^3$$

Du siehst einer Zahl gut an,

  • ob sie durch 2 teilbar ist: letzte Ziffer gerade
  • ob sie durch 5 teilbar ist: letzte Ziffer 0 oder 5
  • ob sie durch 10 teilbar ist: letzte Ziffer 0
  • ob sie durch 3 teilbar ist: Quersumme durch 3

Wenn ein Teiler mehrfach vorkommt, verwende die Potenzschreibweise.

Beispiel:
$$100 = 2^2 * 5^2$$.

Weißt du noch?

$$4^3 = 4 * 4 * 4$$

└──┬─┘

$$3$$-mal der Faktor $$4$$

Potenzen sehen immer so aus: Primfaktorzerlegung

Lies: 4 hoch 3

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Unterschiedliche Rechenwege

Es gibt unterschiedliche Rechenwege, die Primfaktorzerlegung zu finden.

Bei 108 kannst du auch erst durch 4 rechnen. (8 ist durch 4 teilbar und 100 auch.)

$$108=4*27$$

4 ist 2 mal 2.

$$108=2*2*27$$

27 ist durch 3 teilbar.

$$108=2*2*3*9$$

9 ist auch durch 3 teilbar.

$$108=2*2*3*3*3$$

Mit Potenzen:

$$108=2^2*3^3$$

Es gibt unterschiedliche Rechenwege, die Primfaktorzerlegung zu finden. Sie führen alle zum selben Ergebnis. Denn Faktoren kannst du in einem Produkt vertauschen (Kommutativgesetz).

Noch ein Beispiel

Aufgabe: Schreibe 920 als Produkt von Primzahlen.

920 endet auf 0. Teile zuerst durch 10.

$$920= 10*92$$

10 kannst du als 2$$*$$5 schreiben.

$$920 = 2*5*92$$

92 ist eine gerade Zahl. Rechne durch 2.

$$920 = 2*5*2*46$$

46 ist eine gerade Zahl, also durch 2.

$$920 = 2*5*2*2*23$$

23 ist eine Primzahl. Du kannst nicht weiter zerlegen.

Schöner sieht’s noch in dieser Reihenfolge aus:

$$920 = 2*2*2*5*23$$

Und mit Potenzen:

$$920= 2^3*5*23$$

Wenn du eine Zahl in Primfaktoren zerlegst, teile so lange, bis nur noch Primzahlen im Produkt stehen.

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kgV und ggT mit Primfaktorzerlegung

Beim Rechnen mit Zahlen brauchst du oft den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache.

kgV von 9 und 15

Vielfache von 9: $$9$$ $$18$$ $$27$$ $$36$$ $$45$$ $$54$$
Vielfache von 15: $$15$$ $$30$$ $$45$$ $$60$$ $$75$$

$$kgV(9; 15) = 45$$

ggT von 8 und 12

Teiler von 8: $$1$$ $$2$$ $$4$$ $$8$$
Teiler von 12: $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$4$$ $$6$$ $$12$$

$$ggT(8; 12) = 4$$

Der ggT ist nicht 2. Die 2 teilt zwar auch 8 und 12, ist aber nicht der größte Teiler. Das ist die 4.

Mit größeren Zahlen kann das eine ziemliche Rechnerei werden. Mit der Primfaktorzerlegung geht’s einfacher.

kgV(9; 15)

Zerlege beide Zahlen in Primfaktoren:

$$9$$$$=$$$$3$$$$*$$$$3$$
$$15$$$$=$$$$3$$$$*$$$$5$$

Schreibe von jeder Primzahl die höchste vorkommende Potenz in ein Produkt.

$$kgV(9; 15)$$ $$=$$$$3$$$$*$$$$3$$$$*$$$$5$$$$ =$$ $$45$$

ggT(8; 12)

Zerlege beide Zahlen in Primfaktoren:

$$8$$$$ =$$$$2$$$$*$$$$2$$$$*$$$$2$$
$$12$$$$ =$$ $$2$$$$*$$$$2$$$$*$$$$3$$

Schreibe die Faktoren, die in beiden Zahlen vorkommen, als Produkt.

$$ggT(8; 12)$$$$ = $$$$2$$$$*$$$$2$$$$ = $$$$4$$

kgV mit Anwendung

Güneş und Josi trainieren. Güneş benötigt für eine Runde um den Sportplatz 72 Sekunden. Josi braucht 84 Sekunden. Nach welchem Zeitraum überqueren sie wieder gemeinsam die Startlinie?

Der Zeitraum ist das kleinste gemeinsame Vielfache kgV von 72 und 84.

$$ 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3$$

$$ 84$$$$ = $$$$2$$$$ * $$$$2$$$$ *$$ $$3$$$$ *$$ $$7 $$

$$kgV ( 72; 84 )$$$$ = $$$$2$$$$ * $$$$2$$$$ * $$$$2$$$$ * $$$$3$$$$ * $$$$3$$ $$* $$$$7$$$$ = $$$$504$$

Beide überschreiten nach 504 Sekunden zum ersten Mal wieder gemeinsam die Startlinie.

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ggT mit Anwendung

Frau Özil will das Kaninchengehege mit lauter gleich langen Holzbrettern umzäunen. Das Gehege ist 504 cm breit und 840 cm lang. Die Holzbretter sollen möglichst lang sein. Wie lang ist ein Holzbrett?
(Die Breite spielt keine Rolle.)

Die Länge des Holzbretts ist der größte gemeinsame Teiler ggT von 504 und 840.

$$504 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7$$

$$840 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 7$$

$$ggT ($$ $$504; 840$$ $$)$$ $$= 2 * 2 * 2 * 3 * 7 = 168$$

Ein Holzbrett ist 168 cm lang.




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