Wurzelterme umformen

Wurzelterme mit Klammern umformen

Du hast schon gelernt, Klammerterme durch Ausmultiplizieren umzuformen.

Das funktioniert auch mit Termen, die Wurzeln enthalten.


Beispiele:

$$(4+sqrt(3))*$$ $$sqrt(3)$$ $$= 4*$$ $$sqrt(3)$$ $$+ sqrt(3)*$$ $$sqrt(3)$$ $$= 4*$$ $$sqrt(3)$$ $$+3$$

Das geht auch mit Variablen:

$$(5+sqrt(x))*$$ $$sqrt(x)$$ $$= 5*$$ $$sqrt(x)$$ $$+ sqrt(x)*$$ $$sqrt(x)$$ $$= 5*$$ $$sqrt(x)$$ $$+x$$

Für alle $$x in RR:xge0$$

Ausmultiplizieren darfst du wegen des Distributivgesetzes: $$a*(b+c)=a*b+a*c$$

Beispiel: $$2*(x+3)=2*x+6$$


$$sqrt(3)*sqrt(3)=sqrt(3)^2=3$$
$$sqrt(x)*sqrt(x)=sqrt(x)^2=x$$

Die binomischen Formeln bei Wurzeltermen anwenden

Auch bei Wurzeltermen kannst du die binomischen Formeln nutzen.

Beispiele:

I. Binomische Formel $$(sqrt(2)+sqrt(8))^2=sqrt(2)^2+2*sqrt(2)*sqrt(8)+sqrt(8)^2$$

$$=2+2*sqrt(2*8)+8$$

$$=2+2*sqrt(16)+8$$

Das geht auch mit Variablen:

II. Binomische Formel

$$(sqrt(x)-sqrt(y))^2=sqrt(x)^2-2*sqrt(x)*sqrt(y)+sqrt(y)^2$$

$$=x+2*sqrt(x*y)+y$$

Für alle $$x in RR: xge0$$

III. Binomische Formel

$$(sqrt(a)+sqrt(b))*(sqrt(a)-sqrt(b))=sqrt(a)^2-sqrt(b)^2$$

$$=a-b$$

Für alle $$a,b in RR: a,b ge0$$

Binomische Formeln:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ $$(a+b)*(a-b)=a^2-b^2$$


$$sqrt(a)*sqrt(b)=sqrt(a*b)$$

Wurzelterme ausklammern

Manchmal kannst du durch Ausklammern einer Wurzel einen Term vereinfachen.

Beispiel:

$$a^2$$ $$sqrt(b)$$ $$-$$ $$sqrt(b)$$

$$=a^2*$$ $$sqrt(b)$$ $$-1*$$ $$sqrt(b)$$

$$=$$ $$sqrt(b)$$ $$*(a^2-1)$$






$$sqrt(b)$$ kommt bei beiden Summanden vor.
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Die binomischen Formeln rückwärts nutzen

Du kannst die binomischen Formeln auch rückwärts anwenden.


Beispiele:

I. Binomische Formel

$$sqrt(1+2x+x^2)=sqrt((1+x)^2)=1+x$$


III. Binomische Formel

$$2-a^2=sqrt(2)^2-sqrt(a^2)^2=(sqrt(2)-a)*(sqrt(2)+a)$$

Binomische Formeln:

$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$ $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$ $$a^2-b^2=(a+b)*(a-b)$$


$$sqrt(x)*sqrt(x)=sqrt(x)^2=x$$

Wurzeln mit dem Formel-Editor

So gibst du in kapiert.de Wurzeln mit dem Formel-Editor ein:

 



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