Potenzen mit gebrochenen Exponenten

Neue Exponenten

$$2^3$$, $$(-25)^2$$, $$x^-2$$, $$(1/4)^2$$, $$1,5^-1$$

Diese Potenzen sind dir vertraut: verschiedene Zahlen als Basis und positive und negative ganze Zahlen als Exponent.

Aber: Die Exponenten können auch Brüche sein wie in $$2^(1/2)$$!

Häh? $$2^3=2*2*2$$, aber wie soll das mit einem Bruch gehen…

Das ist festgelegt über die Wurzel! Los geht’s:

Potenzen mit gebrochenen Exponenten

Brüche $$1/n$$ als Exponent

Mathematiker haben Potenzen mit Brüchen so festgelegt.

Beispiele:

  • $$4^(1/2)=root 2(4) = 2 $$
  • $$64^(1/3)=root 3(64) = 4$$
  • $$81^(1/4)=root 4(81)=3$$
  • $$ 3^(1/n) = root n(3)$$

„Hoch einhalb“ ist dasselbe wie das Ziehen der 2. Wurzel.
Allgemein: „Hoch 1 durch n“ ist dasselbe wie das Ziehen der n-ten Wurzel.

Für eine Zahl a gilt: $$a^(1/n)=root n(a)$$
Dabei ist a eine reelle Zahl größer 0, n ist eine natürliche Zahl größer 1.
Das heißt $$a in RR$$ und $$a>0$$; $$n in NN$$ und $$n>1$$.

Brüche $$m/n$$ als Exponent

Der Exponent kann aber auch ein anderer Bruch sein. Sieh dir den Term $$x^(6/7)$$ an.
Wie soll das jetzt gehen?

$$x^(6/7)$$
ist dasselbe wie:
$$x^(6*1/7)$$

Potenzgesetze:
$$(x^6)^(1/7)$$

$$n$$-te Wurzel ziehen für $$n=7$$:
$$root 7(x^6)$$

Also: $$x^(6/7)=root 7(x^6)$$

Für eine Zahl a gilt: $$a^(m/n)=root n(a^m)$$
Dabei ist a eine reelle Zahl größer 0, n ist eine natürliche Zahl größer 1 und m ist eine ganze Zahl.
$$a in RR$$ und $$a>0$$; $$n in NN$$ und $$n>1$$; $$m in ZZ$$.


Meistens berechnest du diese Potenzen bzw. Wurzeln mit dem Taschenrechner. Bei manchen Taschenrechner darfst du die Klammern nicht vergessen:
[Bild der Eingabe: x^(6/7)]





Und so geht’s allgemein:
$$x^(a/b)$$

$$x^(a*1/b)$$

$$(x^a)^(1/b)$$

$$root b (x^a)$$

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Und in der Praxis?

Potenzen mit rationalen Exponenten kommen beim Bakterienwachstum vor.

Eine Bakterienart vermehrt sich so, dass sich ihre Anzahl nach einer Stunde vervierfacht.

Zeit t in Stunden 0 1 2 3
Anzahl x der Bakterien 1 416 64

Fällt dir was an den Zahlen auf?

Zeit t in Stunden 0 1 2 3
Anzahl x der Bakterien 40=1 41=4 42=16 43=64


Das kannst du in einer Formel schreiben: $$\text{Anzahl Bakterien}=4^(\text{Anzahl Stunden})$$ oder kurz $$x=4^t$$.

Mit der Formel kannst du die Anzahl der Bakterien nach einer halben Stunde berechnen. Jetzt kommt die Wurzel ins Spiel.

$$x=4^(1/2)=sqrt(4)=2$$

Oder nach $$2,5$$ Stunden?

$$x=4^(2,5)=4^(5/2)=4^(5*(1/2))=(4^5)^(1/2)=sqrt(4^5)=sqrt(1024)=32$$

Nach 2,5 Stunden gab es 32 Bakterien.

Für diese Rechnung brauchtest du schon ein paar Regeln aus der Bruchrechnung und Potenzgesetze wie $$(a^m)^n=a^(m*n)$$.



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