Logarithmusgesetze anwenden

Logarithmusgesetze

Bei Potenzen und Wurzeln hast du bereits Potenz- und Wurzelgesetze kennengelernt, mit denen du kompliziert erscheinende Terme vereinfachen kannst.

Jetzt kommen die Logarithmengesetze.

Beispiele:
$$2^5/2^3=2^(5-3)=2^2$$

$$sqrt2*sqrt8=sqrt(2*8)=sqrt16$$

Logarithmengesetz 1: Statt Multiplizieren Addieren

Für Logarithmen zur Basis $$b$$ mit $$b≠1$$ und $$b>0$$ und für positive reelle Zahlen $$u$$ und $$v$$ gilt:

$$log_b(u*v) = log_b(u) + log _b(v) $$


Beispiele:
$$log(6) = log(2*3) = log(2) + log(3)$$

$$log_6(9)+log_6(4)=log_6(9*4)=log_6(36)=2$$, denn $$6^2=36 $$

Zur Erinnerung:
$$log_10(a)=log(a)$$

Logarithmengesetz 2: Statt Dividieren Subtrahieren

Für Logarithmen zur Basis $$b$$ mit $$b≠1$$ und $$b>0$$ und für positive reelle Zahlen $$u$$ und $$v$$ gilt:

$$log_b(u/v)=log_b(u)-log_b(v)$$


Beispiele:

$$log(10/2)=log(10)-log(2)=1-log(2)$$

$$log_2(96)-log_2(3)=log_2(96/3)=log_2(32)=5$$, denn $$2^5=32.$$

Zur Erinnerung:
$$log_10(a)=log(a)$$

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Logarithmengesetz 3: Statt Potenzieren Multiplizieren

Für Logarithmen zur Basis $$b$$ mit $$b≠1$$ und $$b>0$$ und für eine positive reelle Zahl $$u$$ sowie eine reelle Zahl $$r$$ gilt:

$$log_b(u^r)=r*log_b(u)$$


Beispiele:
$$log(8)=log(2^3)=3*log(2)$$

$$2*log_3(9)=log_3(9^2)=log_3(81)=4$$, denn $$3^4=81$$

Zur Erinnerung:
$$log_10(a)=log(a)$$

Noch mehr Beispiele:

a) Gesetz 1:

$$log_4(8)+log_4(2)=log_4(8*2)=log_4(16)=2$$,

denn $$2^4=16$$


b) Gesetz 2:

$$log_2(24)-log_2(12)-log_2(2)$$

$$=log_2(24/12)-log_2(2)=log_2(2)-log_2(2)=1-1=0$$


c) Gesetz 3:

$$3*log_8(2)=log_8(2^3)=log_8(8)=1$$,

denn $$8^1=8$$


d) Zu lösen ist die Gleichung: $$log(x) = 2*log(5) + log (3)$$.

$$log(x) = 2*log(5) + log(3)$$

$$ =log(5^2)+log(3)= log(5^2*3) = log(75)$$

Also ist $$x=75$$.

Und noch mehr Beispiele:

a) $$log(3*x)=log(3)+log(x)$$

b) $$log_a(2ab^2)=log_a(2)+log_a(a)+log_a(b^2)$$

$$=log_a(2)+1+2*log_a(b)$$

c) $$log_b((uv)/w)=log_b(uv)-log_b(w)$$

$$=log_b(u)+log_b(v)-log_b(w)$$


d) $$log_a(1/x)-log_a(2/x)$$

$$=log_a(1)-log_a(x)-(log_a(2)-log_a(x))$$

$$=log_a(1)-log_a(x)-log_a(2)+log_a(x)$$

$$=log_a(1)-log_a(2)=0-log_a(2)=-log_a(2)$$






$$x=log_a(1)$$
$$⇔a^x=1$$
$$⇔x=0$$

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