Zahlenfolgen (Muster)

Wie geht es weiter?

In Mathe geht es oft darum, dass du ein Muster oder ein Prinzip erkennst. Und dann fortführst.

Kannst du dieses Muster fortsetzen?

Zahlenfolgen (Muster)

Die Fortsetzung sieht dann so aus:

Zahlenfolgen (Muster)

Es kommen also immer 4 Kreise dazu.

Schreibe die Anzahl der Kreise als Zahlen auf. Das ist dann eine Zahlenfolge.

$$1, 5, 9, …$$

Du kommst von einer Zahl zur nächsten, indem du $$+4$$ rechnest.

Jetzt kannst du ganz einfach bestimmen, wie viele Kreise jede beliebige Fortsetzung des Musters hat, ohne dass du alle Kreise aufmalen und nachzählen musst.

Beispiel: Wie viele Kreise hat die 7. Fortsetzung des Musters?

Ergänze die Zahlenfolge bis zur 7. Stelle. Rechne immer $$+4$$.

$$1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, …$$

Das gesuchte 7. Muster besteht aus 25 Kreisen.

Zahlenfolgen (Muster)

Eine Menge von Zahlen mit festgelegter Reihenfolge heißt Zahlenfolge.

Noch ein Muster

Und ein bisschen schwieriger: Kannst du dieses Muster fortsetzen?

Zahlenfolgen (Muster)

Das nächste Muster sieht dann so aus:

Zahlenfolgen (Muster)

Und das übernächste so:

Zahlenfolgen (Muster)

Es kommt immer eine Reihe dazu, und die Reihe hat ein Feld mehr als vorher.

Zahlenfolgen (Muster)

Von einem Bild zum nächsten kommst du so: $$ +2, +3, +4, +5,$$ usw.

Die Zahlenfolge heißt: $$1, 3, 6, 10, 15, …$$

Zahlenfolgen (Muster)

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Ohne Bilder

Du ahnst es: Um Muster zu erkennen, brauchst du gar keine Bilder. Muster kannst du auch in Reihen von Zahlen erkennen. :)

Beispiel 1:

Setze die Zahlenfolge fort: $$10, 20, 30, 40, …$$

Du siehst bestimmt schon: Es kommen immer 10 dazu.
Die Zahlenfolge geht weiter mit: $$50, 60, 70, …$$

Beispiel 2:

Setze die Zahlenfolge fort: $$3, 6, 9, …$$

Es kommen immer $$3$$ dazu.
Setze die Zahlenfolge fort: $$12, 15, 18, …$$

Beispiel 3:

Jetzt wird es schwieriger. Setzte diese Zahlenfolge fort: $$ 17, 19, 23, 29, …$$

Die Zahlen werden größer, wahrscheinlich addierst du. Schreib dir die Additionen auf:

Zahlenfolgen (Muster)

Die Zahl, die addiert wird, wird immer um zwei größer als bei der Zahl davor. Als nächstes wird also $$+ 8$$ gerechnet, dann $$+10$$ usw.
Setze die Zahlenfolge fort: $$37, 47, 59 …$$

Beispiel 4:

Setze die Zahlenfolge fort: $$25, 50, 54, 49, 98, 102, 97, 194, …$$

Oh, hier werden die Zahlen mal größer und mal kleiner. Auf alle Fälle brauchst du mehrere Rechenzeichen, wahrscheinlich ist ein minus dabei.

Versuche, herauszufinden, wie du von einer Zahl zur anderen kommst:

Zahlenfolgen (Muster)

So bildest du also die Zahlenfolge: $$*2$$, $$+4$$, $$-5$$ und dann wieder von vorn $$*2$$, $$+4$$, $$-5$$.

Setze die Zahlenfolge fort: $$198, 193, 386…$$

Du kannst Zahlenfolgen mit allen möglichen Rechenoperationen wie $$+,-,*,: $$ bilden. Zahlenfolgen können bei jeder beliebigen Zahl losgehen.

Probieren geht über studieren

Manchmal siehst du einer Zahlenfolge nicht sofort an, nach welchen Regeln sie gebildet wurde. Dann kannst du durch folgende Tipps die Regel herausfinden:

  • Probiere, ob du durch Plusrechnen von einer zu anderen Zahl kommst. Sonst probiere das Malrechnen.
  • Sind die Zahlen Vielfachen einer Zahl?
  • Wenn die Zahlen mal größer und mal kleiner werden, probiere, ob du erst addierst, dann subtrahierst, dann wieder addierst usw.
  • Notiere dir die einzelnen Schritte, bis du eine Regel erkennst.


Manchmal gibt es mehrere Möglichkeiten, von einer Zahl zur nächsten zu kommen. Welche richtig ist, erkennst du dann weiter hinten in der Zahlenfolge.

Beispiel:

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Das ist ja interessant

Wusstest du, dass alle Kerne der Sonnenblume in einem bestimmten Muster, einer Spirale, in der Blüte liegen?

Du kannst die Anzahl der Spiralen durchzählen, indem du nach links in der Sonnenblume gehst. Oder du kannst die Anzahl der Spiralen durchzählen, indem du nach rechts in der Sonnenblume gehst. Da kommen 2 verschiedene Zahlen raus. Klingt verrückt, hm?

Noch verrückter, dass die Anzahlen der Spiralen nicht alle möglichen Zahlen sind, sondern immer ganz bestimmte. Nämlich diese Zahlen hier:
$$1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89 …$$

Am häufigsten kommen Sonnenblumenblüten mit 34 (rechts) bzw. 55 (links) Spiralen vor.

Zahlenfolgen (Muster) Bild: Blickwinkel (P. Frischknecht)

Das ist übrigens auch bei Tannenzapfen, Ananas, Gänseblümchen und vielen anderen Pflanzen so.







Diese Zahlenfolge heißt übrigens Fibonacci-Folge; benannt nach Leonardo Fibonacci (1170 - 1240).
Gesprochen: Fibonatschi



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