Eigenschaften der Pyramide untersuchen

Arten von Pyramiden

Faszinieren dich auch die Pyramiden aus dem alten Ägypten?

Eigenschaften der Pyramide untersuchen
Bild: fotolia.com

In Pyramiden steckt jede Menge Mathematik. Es gibt verschiedene Arten von Pyramiden:

Eigenschaften der Pyramide untersuchen

Die Grundfläche (blau gefärbt) einer Pyramide gibt ihr den Namen.

Pyramiden sind spitz zulaufende Körper, die eine eckige, namengebende Grundfläche besitzen.

Pyramide - Begriffe und Eigenschaften

Zum Berechnen von Pyramiden benötigst du einige Begriffe, die du hier kennen lernst.


Eigenschaften der Pyramide untersuchen

Grundseite a
Seitenkante s
Seitenhöhe $$h_s$$
Körperhöhe $$h_k$$
Diagonale e, f
Grundfläche G
Seitenfläche A

Vom Netz zur Oberfläche

Wie ein Netz entsteht und wie die Oberfläche einer quadratischen Pyramide berechnet wird, siehst du hier.

Pyramide (allgemein): O = Grundfläche + Mantel

Quadratische Pyramide: O = a² + 2 a $$h_s$$

Nachhilfe in Mathe, Englisch, Deutsch

Noch nicht kapiert?

kapiert.de kann mehr:

  • interaktive Übungen
    und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager

So berechnest du eine quadratische Pyramide.

Beispiel

Eigenschaften der Pyramide untersuchen

gegeben:
$$a = 5$$ $$cm$$
$$h_s$$ $$= 8$$ $$cm$$

Rechnung:
$$ O =$$ Grundfläche $$+$$ Mantel
$$ O =$$   $$a^2$$    $$+$$ $$2* a *h_s$$
$$ O =$$    $$5^2$$    $$+ 2 * 5 * 8$$
$$ O = 105$$ $$cm^2$$

Berechnung der Seitenhöhe $$h_s$$ einer quadratischen Pyramide.

Eigenschaften der Pyramide untersuchen

gegeben:   $$ O = 504$$ $$mm^2$$
          $$ a = 12$$ $$ mm$$

Rechnung:

$$1.$$ Den Mantel der Pyramide bestimmen.

Die Grundfläche ($$G = a^2 = 12^2 = 144$$ $$mm^2$$) kannst du von der Oberfläche abziehen und rechnest dann nur noch mit dem Mantel.

  $$M = O$$ $$– G = 504 – 144 =360$$ $$ mm^2$$


$$2.$$ Die Mantelformel nun nach $$h_s$$ umstellen.

  $$ M = 2 · a · h_s$$     $$ | : (2 · a) $$
  $$M/(2 · a) =h_s$$


$$3.$$ Jetzt die Werte in die Formel einsetzen und du hast die Seitenhöhe berechnet.

  $$h_s = M/(2 · a) = 360/(2 · 12) = 15 $$ $$mm$$

Oberfläche einer quadratischen Pyramide. Rechnen mit $$a$$ und $$h_k$$.

Manchmal sind andere Werte der Pyramide gegeben und du musst die notwendigen Größen erst ermitteln (meist mit Pythagoras).

Eigenschaften der Pyramide untersuchen

Beispiel:

gegeben: $$ a = 5$$ $$ cm$$
       $$h_k$$ $$= 8$$ $$cm$$

Rechnung:

$$1.$$ $$h_s$$ mit Pythagoras berechnen (Hypotenuse gesucht):
   $$h_s = sqrt(h_k^2+(a/2)^2)$$
   $$h_s = sqrt(8^2+(5/2)^2$$
   $$h_s$$ $$approx$$ 8,38 cm

$$2.$$ $$O$$ berechnen:
   $$O =$$ Grundfläche $$+$$ Mantel
   $$O = a^2 + 2 * a * h_s$$
   $$O = 5^2 + 2 * 5 * 8,38$$
   $$O$$ $$approx$$ $$108,80$$ $$cm^2$$

Nachhilfe in Mathe, Englisch, Deutsch

Noch nicht kapiert?

kapiert.de kann mehr:

  • interaktive Übungen
    und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager

Oberfläche einer quadratischen Pyramide. Rechnen mit $$a$$ und $$s$$.

Eigenschaften der Pyramide untersuchen

Beispiel

gegeben: $$a = 25$$ $$ cm$$
        $$s= 18$$ $$ cm$$

Rechnung:
$$h_s$$ ist eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks „Seitenkante – halbe Grundseite – Seitenhöhe“. Der rechte Winkel liegt zwischen der Seitenhöhe und der halben Grundseite.

1. $$h_s$$ gesucht
   $$h_s = sqrt(s^2-(a/2)^2)$$
   $$h_s = sqrt(18^2-(25/2)^2$$
   $$h_s$$ $$approx$$ 12,95 cm

2. $$O$$ berechnen:
   $$O =$$ Grundfläche $$+$$ Mantel
   $$O$$ $$= a^2 + 2 * a * h_s$$
   $$O = 25^2 + 2 *2 5 * 12,95$$
   $$O$$ $$approx$$ $$1272,50$$ $$cm^2$$

Oberfläche einer quadratischen Pyramide. Rechnen mit $$s$$ und $$h_k$$

Dieses Mal ist keiner der zwei notwendigen Werte gegeben. Beide müssen erst (mit Pythagoras) ermittelt werden.

Eigenschaften der Pyramide untersuchen

Beispiel:

gegeben: $$s = 18$$ $$ cm$$
        $$h_k$$ $$ = 12$$ $$ cm$$

Rechnung:

1. $$e/2$$ berechnen
Du rechnest mit dem Dreieck „Seitenkante – Körperhöhe – halbe Diagonale“. Der rechte Winkel liegt zwischen Körperhöhe und halber Diagonale. Du suchst eine Kathete.

   $$e/2 = sqrt(s^2-(h_k)^2)$$

   $$e/2 = sqrt(18^2-12^2$$

   $$e/2$$ $$approx$$ $$13,42$$ $$cm$$

  Daraus ergibt sich:  $$e= 2 * e/2 = 2 * 13,42$$ $$approx$$ $$26,84$$ $$ cm$$

2. $$a$$ berechnen:
Die Diagonale eines Quadrats wird mit der Formel $$e = a · sqrt(2)$$ berechnet. Durch Umstellung erhältst du:
   $$ a = e/(sqrt(2)$$

   $$ a = 26,84/(sqrt(2)$$
   $$a$$ $$approx$$ $$18,98$$ $$cm$$

3. $$h_s$$ berechnen:

   $$h_s = sqrt(h_k^2+(a/2)^2)$$
   $$h_s = sqrt(12^2+(18,98/2)^2)$$

   $$h_s$$ $$approx$$ $$15,30$$ $$ cm$$

4. $$O$$ berechnen:
   $$O = a^2 + 2 * a * h_s =18,98^2 + 2 * 18,98 * 15,30 approx$$ $$941,03$$ $$ cm^2$$



Noch nicht kapiert?

Screenshot kapiert.de Mathe Aufgaben EdM

Das Thema macht dir noch Schwierigkeiten?
Teste das Lernportal von kapiert.de!

  • alle Themen aus deinem Schulbuch
  • interaktive Übungen und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager
  • Video-Chat mit Tutoren in allen Fächern

Die Testlizenz endet nach 14 Tagen automatisch. Es entstehen keine Kosten.

Ich habe die AGB und Datenschutzhinweise gelesen und stimme ihnen zu.