Terme durch Faktorisieren umformen

Faktorisieren von Termen

Was sich hinter „Faktorisieren“ verbirgt:

Etwas schwierigere Beispiele

Jetzt wird es etwas schwieriger.
Der Term $$9xy-3x$$ hat in jedem Summanden den Faktor $$x$$. Allerdings lassen sich gleichzeitig $$9$$ und $$3$$ beide durch $$3$$ teilen. Der Faktor, den du ausklammerst lautet dann $$3x$$.

$$9xy-6x=3x*3y-3x*2=3x*(3y-2)$$

Manchmal macht es auch Sinn eine negative Zahl auszuklammern. Zum Beispiel, wenn der Term überwiegend negative Summanden hat.
Der Term $$-4t-8tx-16$$ hat nur negative Summanden und in jedem Summanden kommt der Faktor $$-4$$ vor.

$$-4t-8tx-16=-4*(t+2x+4)$$

Du kannst auch Terme, die mehr als zwei Summanden haben faktorisieren. Dabei gehst du genauso vor.
Der Term $$-2t-8tx-4t+4tu$$ enthält in jedem Termglied die Variable $$t$$. Zusätzlich lassen sich die Zahlen durch $$-2$$ teilen. Klammere also $$-2t$$ aus.

$$-2t-8tx-4t+4tu$$

$$=(-2t)+(-2t)*4x+(-2t)*2-(-2t)*2u$$

$$=-2t*(1+4x+2-2u)$$





Probe:
$$3x*(3y-2)=9xy-6x$$







Probe: $$-4*(t+2x+4)=−4t−8tx−16$$








Probe:
$$-2t*(1+4x+2-2u)$$

$$=-2t-8tx-4t+4tu$$

Wenn nicht jeder Summand den gleichen Faktor hat…

…ist es manchmal trotzdem hilfreich auszuklammern.
Im Term $$4x+4y+3$$ haben sowohl $$x$$, als auch $$y$$ die $$4$$ als Vorfaktor. Leider lässt sich $$3$$ nicht so gut durch $$4$$ teilen. Trotzdem ist das Ausklammern der $$4$$ möglich und kann den Term vereinfachen.
$$4x+4y+3=4*(x+y+3/4)$$

Das Ausklammern ist in solchen Fällen nicht immer unbedingt hilfreich.

$$5x^2+3x-c$$ ist irgendwie besser als $$x*(5x+3-c/x)$$, oder?

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Potenzen

Im Term $$x^3+4x^2-x$$ kommt die Variable $$x$$ in jedem Summanden vor. Klammere $$x$$ aus.

Erinnerst du dich, wie du Potenzen, wie $$x^3$$ durch $$x$$ teilst?

$$x^3+4x^2-x=x*x^2+x*4x-x*1$$

$$=x*(x^2+4x-1)$$



Überprüfe:
$$x*x^2$$ ergibt $$x^3$$
und
$$x*4x$$ ergibt $$4x^2$$.

Ausklammern von Summen

Auch der Term $$2y*(x+3)-c*(x+3)$$ hat einen gemeinsamen Faktor in jedem Summanden. Der Ausdruck $$(x+3)$$ wird jeweils mit verschiedenen Variablen und Zahlen multipliziert. Du kannst diesen Faktor also auch ausklammern! $$2y*(x+3)-c*(x+3)=(x+3)*2y-(x+3)*c$$

$$=(x+3)*(2y-c)$$



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