Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Du kennst schon senkrechte und parallele Geraden oder Strecken.
Es gibt aber noch mehr besondere Linien. Hier geht es um die Mittelsenkrechte und die Winkelhalbierende.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


Du lernst beide Linien auf 3 Arten kennen:

  • durch Falten
  • durch Messen (und der Rechnung Halbieren)
  • durch Konstruieren mit dem Zirkel

Beide Linien haben etwas mit der Hälfte oder „geteilt durch 2“ (: 2) zu tun.

Was ist die Mittelsenkrechte?

Der Begriff Mittelsenkrechte erklärt sich fast von selbst, wenn du ihn in zwei Teile zerlegst.

Mittelsenkrechte

  • „Mittel“ sagt aus, dass es sich um eine Mitte handelt. Es geht um die Mitte oder die Hälfte einer Strecke.
  • Senkrechte kennst du schon. Es ist eine Linie, die im 90°-Winkel zu einer Strecke steht.

Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die eine Strecke halbiert und die im 90°-Winkel zu der Strecke steht.

Beispiel:


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


Die rote Gerade $$m$$ ist die Mittelsenkrechte der Strecke $$bar(AB)$$.

Die Mittelsenkrechte einer Strecke

  1. halbiert die Strecke und

  2. steht senkrecht auf der Strecke.







Mittelsenkrechte gibt es nur zu Strecken, nicht zu Geraden. Bei Geraden kann man ja keine Mitte bilden, weil Geraden keinen Anfang und kein Ende haben.

Eine Mittelsenkrechte falten

Die einfachste Art, die Mittelsenkrechte herzustellen, ist durch Falten.

Die blaue Strecke soll halbiert werden.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


Du knickst das Papier so, dass die Kanten außen aufeinander liegen.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


Faltest du das Papier jetzt wieder auseinander, siehst du die Mittelsenkrechte.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


Auf jeder Seite der Mittelsenkrechten m liegt jetzt die halbe Strecke.


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Die Mittelsenkrechte durch Messen erzeugen

Du kannst die Mittelsenkrechte zu einer Strecke mit deinem Geodreieck zeichnen.

1. Miss die gegebene Strecke aus. (Kann auch sein, dass du die Strecke erst in dein Heft zeichnen sollst. Dann fällt dieser Schritt weg.)


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


Diese Strecke ist 7 cm lang.

2. Rechne die Streckenlänge geteilt durch 2.
Die Hälfte von 7 cm sind 3,5 cm. Du rechnest hier 7 : 2 = 3,5.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


3. Lege das Geodreieck so an, dass du auf jeder Seite die 3,5 cm liegen hast. Automatisch liegt die 0 in der Mitte. Bei der 0 setzt du eine Markierung.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


4. Drehe das Geodreieck um 90° und lege die Mittellinie des Geodreiecks auf die Strecke. Dann schiebst du die Kante bis zu deiner Markierung. Zeichne die Mittelsenkrechte ein.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Fertig ist die Mittelsenkrechte m.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Die Mittelsenkrechte mit dem Zirkel konstruieren

Du hast wieder die Strecke $$bar(AB)$$ gegeben oder du zeichnest sie selber ins Heft.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


1. Stell den Zirkel nach Augenmaß größer als die Hälfte der Strecke ein. Stich in Punkt B ein und ziehe einen Kreisbogen.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


2. Die Zirkeleinstellung bleibt gleich und du stichst bei A ein. Zeichne einen Kreisbogen.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


3. Du erhältst zwei Schnittpunkte. Verbinde sie mit dem Lineal. Das ist die Mittelsenkrechte.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Was ist die Winkelhalbierende?

Auch der Begriff Winkelhalbierende erklärt sich von selbst, wenn du ihn zerlegst.

Winkelhalbierende

  • Es geht also darum, dass du einen Winkel gegeben hast.
  • Den Winkel, also seine Gradzahl, sollst du halbieren. Halbieren heißt durch 2 teilen.

Die Winkelhalbierende ist ein Strahl, der den Winkel halbiert.

Beispiel:


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


Der rote Strahl ist die Winkelhalbierende w.

Wenn dein Winkel $$alpha$$ heißt, erhältst du durch die Winkelhalbierende 2 Winkel, die $$alpha/2$$ groß sind.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende

  • teilt den Winkel in zwei gleich große Teilwinkel.
  • hat an jedem Punkt den gleichen Abstand von den beiden Schenkeln des Winkels.


Ein Winkel besteht aus dem Scheitelpunkt S und 2 Schenkeln. Schenkel sind Strahlen (Halbgeraden), die vom Scheitelpunkt S ausgehen.


Zwei Schenkel bilden immer zwei Winkel. Zeichne immer ein, welchen Winkel du meinst.


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Die Winkelhalbierende falten

Du kannst Winkelhalbierende durch Falten erzeugen.

Der blau markierte Winkel soll halbiert werden.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


Knicke die Schenkel des Winkels genau aufeinander.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


Wenn du das Papier wieder auseinander faltest, siehst du die Winkelhalbierende.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


Die Winkelhalbierende w halbiert den Winkel.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Sehr viele Origamifaltungen beginnen mit der Mittelsenkrechten und der Winkelhalbierenden. Wenn du zum Beispiel schon einmal ein „Himmel und Hölle“ gefaltet hast, weißt du, dass du dazu beide Falten benötigst.

Die Winkelhalbierende durch Messen zeichnen

Mit dem Geodreieck kannst du Winkelhalbierende zeichnen.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


1. Miss den Winkel. (Oder du sollst erst einen bestimmten Winkel zeichnen. Dann entfällt dieser Schritt.) Lege dazu den 0-Punkt des Geodreiecks an S an und eine Kante des Geodreiecks auf den Schenkel.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


Der Winkel ist 54° groß.


2. Rechne die Winkelgröße geteilt durch 2.
Du rechnest 54 : 2 = 27.
Der Winkel zwischen Winkelhalbierender und einem Schenkel ist 27° groß.


3. Zeichne die Winkelhalbierende mithilfe des halben Winkels ein.
Zeichne den 27°-Winkel. Dazu drehst du das Geodreieck, bis du zu 27° kommst. Der 0-Punkt bleibt in S.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


Fertig ist die Winkelhalbierende w.






































Auf dem Geodreieck siehst du immer zwei Zahlen. Orientiere dich immer daran, ob der Winkel, den du misst, kleiner oder größer als 90° groß ist. Hier ist der Winkel kleiner als 90°.

Winkelhalbierende mit dem Zirkel konstruieren

Gegeben ist der Winkel.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


1. Stich mit dem Zirkel mit einer beliebigen Länge in S ein. Zieh einen Kreisbogen. Es entstehen 2 Schnittpunkte.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


2. Stelle die Zirkelspanne mit Augenmaß so ein, dass sie etwas größer ist als die Hälfte der Entfernung zwischen den 2 Schnittpunkten. Stich in einen der Schnittpunkte ein und ziehe einen Kreisbogen.
(Oft kannst du die Zirkeleinstellung des ersten Kreisbogens so lassen und für diesen Schritt weiter verwenden.)


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


3. Stich mit derselben Zirkelspanne in den anderen Schnittpunkt ein. Ziehe einen Kreisbogen. Es entsteht ein Schnittpunkt.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


4. Verbinde den letzten Schnittpunkt mit S. Das ist die Winkelhalbierende.


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Winkelhalbierende und Mittelsenkrechte in der Praxis

Die Mittelsenkrechte steckt zum Beispiel in Achsenspiegelungen. Spiegelachsen kennst du schon. Eine Spiegelachse ist die Mittelsenkrechte von den Strecken zwischen Punkt und Bildpunkt.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende


Bauwerke sind häufig symmetrisch. Darin spielt die Mittelsenkrechte oder die Winkelhalbierende eine Rolle.


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende
Bild: fotolia.com (pics)


Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende
Bild: fotolia.com (K. Xenikis)



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