Scheitelpunkte von Normalparabeln berechnen

Eine Funktion – zwei Schreibweisen

Die Funktionsgleichung für dieselbe Funktion kannst du in unterschiedlichen Formen aufschreiben.

Beispiele:

$$f (x) = x^2 -6x +8$$ ist die gleiche Funktion wie $$f (x) = (x-3)^2 -1$$.

Oder
$$g (x) = x^2 -x + 1,65$$ ist die gleiche Funktion wie $$ g(x) = (x -0,5)^2 + 1,4$$.

Keine Sorge, das siehst du auf den ersten Blick gar nicht. Da hilft nur nachrechnen.

Für $$f(x)$$:

Am einfachsten geht es, wenn du bei $$f (x) = (x-3)^2 -1$$ die Klammer auflöst.

$$f (x) = (x-3)^2 -1 $$
$$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$= x^2-2*3x +9-1$$
$$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$= x^2-6x +9-1$$
$$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$= x^2-6x + 8$$

Du siehst, die beiden Formen von $$f$$ stehen tatsächlich für die gleiche Funktion.

Du kannst ein und dieselbe Funktion in unterschiedlichen Formen darstellen.












Denke beim Auflösen der Klammer an die binomischen Formeln! $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ oder $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Und wie nennt sich das?

Die unterschiedlichen Darstellungen einer Funktion haben unterschiedliche Namen.

Die Darstellung der Funktion durch $$f(x) = x^2 - 6x + 8$$ heißt Normalform.

Aber wozu noch eine weitere Form?

An der zweiten Form $$f (x) = (x-3)^2 -1$$ kannst du ganz einfach Eigenschaften der Funktion ablesen. Ohne umständliches Zeichnen!

So sieht’s allgemein aus:

Die Darstellung der Funktion durch $$f(x)= x^2+px+q$$ heißt Normalform.
$$p$$ und $$q$$ sind Platzhalter für Zahlen.

Eigenschaften von $$f (x) = (x-3)^2 -1$$

Der Graph der Funktion $$f$$ sieht so aus:

Scheitelpunkte von Normalparabeln berechnen

Welche Nullstellen hat $$f$$ ?

Die Nullstellen liegen bei $$(2|0)$$ und $$(4|0)$$.

Wo ist der Scheitelpunkt und Tiefpunkt von $$f$$ ?

Der Tiefpunkt und Scheitelpunkt ist $$(3|-1)$$.

Was hat $$f$$ als Wertebereich?

Der Wertebereich sind $$-1$$ und alle Zahlen, die größer sind.

Besitzt $$f$$ eine Symmetrieachse?

Ja, sie verläuft durch den Scheitelpunkt $$(3|-1)$$ und parallel zur $$y$$-Achse.


Ist dir aufgefallen, was du direkt aus dieser Funktionsgleichung $$f(x)= (x - 3)^2 - 1$$ ablesen kannst?

Den Scheitelpunkt! Deswegen heißt diese Funktion auch Scheitelpunktform.

Die Darstellung der Funktion durch $$f (x) = (x – d)^2 + e$$ heißt Scheitelpunktform.
Du kannst ihr sofort den Scheitelpunkt $$(d|e)$$ entnehmen.

Mit dem Scheitelpunkt kennst du natürlich ebenfalls die Symmetrieachse und den Wertebereich.

Mit der Scheitelpunktform kennst du den Scheitelpunkt und zwar ohne eine Wertetabelle zu berechnen oder den Graphen zu zeichnen.

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Beispiel: $$h(x) = (x + 0,5)^2 + 1,5$$

Das ist der Graph der Funktion $$h$$:

Scheitelpunkte von Normalparabeln berechnen

Wo ist der Scheitelpunkt und Tiefpunkt von $$h$$ ?

Der Tiefpunkt und Scheitelpunkt ist $$(-0,5|1,5)$$.

Was hat $$h$$ als Wertebereich?

Der Wertebereich sind $$1,5$$ und alle Zahlen, die größer sind.

Besitzt $$h$$ eine Symmetrieachse?

Die Spiegelachse verläuft durch den Scheitelpunkt $$(-0,5|1,5)$$ und parallel zur $$y$$-Achse.

Den Scheitelpunkt $$(-0,5|1,5)$$ kannst du wieder direkt aus der Funktionsgleichung $$h(x)= (x + 0,5)^2 +1,5$$ ablesen!

ACHTUNG:
Wenn du aus der Scheitelpunktform die $$x$$-Koordinate für den Scheitelpunkt schreibst, wechselt das Vorzeichen.
Aus $$+$$ wird $$-$$ und aus $$-$$ wird $$+$$.

In der Klammer steht $$+$$$$0,5$$. Daraus wird $$-$$$$0,5$$ im Scheitelpunkt.

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform ist oft viel praktischer. Wie kannst du eine Funktionsgleichung der Form $$f(x)= x^2 + px +q$$ umformen?

Dazu brauchst du die quadratische Ergänzung.

Suche für

$$f (x) = x^2 – 6x + 8$$

die Darstellung
$$f (x) = x^2 – 6x + 8$$
$$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$= (x - $$Scheitelpunkte von Normalparabeln berechnen $$)^2 +$$ Scheitelpunkte von Normalparabeln berechnen



1. Schritt: Suche $$b$$
Nach der Binomischen Formel muss in das erste graue Kästchen eine 3.

Scheitelpunkte von Normalparabeln berechnen


Scheitelpunkte von Normalparabeln berechnen




2. Schritt: Berechne $$b^2$$
Damit ergibt sich: $$ b^2 = 9$$

3. Schritt: Trick – addiere 0
Du darfst aber natürlich nicht eine 9 in eine Gleichung einfügen, deshalb gibt es jetzt einen Trick:
$$ + 9 – 9 = 0$$ und eine 0 darf du immer in einer Gleichung addieren:

Scheitelpunkte von Normalparabeln berechnen



4. Schritt: Berechne das zweite Kästchen
Daraus ergibt sich für das zweite Kästchen:

Scheitelpunkte von Normalparabeln berechnen


Also: $$f(x)=(x-3)^2-1$$


Fertig!
Nun hast du die Funktion von der Normalform in die Scheitelpunktform umgeformt!


Dieses Verfahren heißt quadratische Ergänzung.








Vergiss die Binomischen Formeln nicht:
$$(x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2$$ $$(x - b)^2 = x^2 - 2bx + b^2$$

Beispiel $$g(x)=x^2 + 3 x+1 $$

Suche für

$$g(x)=x^2 + 3 x+1 $$

die Darstellung
$$g(x)=x^2 + 3 x +1 $$
$$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$= (x +$$ Scheitelpunkte von Normalparabeln berechnen $$)^2 + $$ Scheitelpunkte von Normalparabeln berechnen


1. Schritt: Suche $$b$$
Nach der Binomischen Formel muss in das erste graue Kästchen eine 1,5.

$$x^2+2bx+b^2$$

$$g(x) = x^2 + 3x$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$+ 1$$

$$= (x$$ $$+ 1,5$$ $$)^2 + $$Scheitelpunkte von Normalparabeln berechnen

$$(x + b )^2 + $$ Scheitelpunkte von Normalparabeln berechnen


2. Schritt: Berechne $$b^2$$
Damit ergibt sich: $$ b^2 = 2,25$$


3. Schritt: Trick – addiere 0

$$ + 2,25 – 2,25 = 0$$ und eine 0 darf du immer in einer Gleichung addieren:

$$x^2+2bx+b^2$$

$$g (x) = x^2 + 3x$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$+ 1$$
$$g (x) = x^2 + 3x$$ $$+0$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$+ 1$$
$$g(x) = x^2 + 3x$$ $$+ 2,25 -2,25$$ $$+1$$

$$= (x +1,5 )^2 -$$ Scheitelpunkte von Normalparabeln berechnen

$$(x + b )^2 + $$



4. Schritt: Berechne das zweite Kästchen
Daraus ergibt sich für das zweite Kästchen:

$$g (x) = x^2 + 3x+ 2,25 -2,25+1$$

$$= (x + 1,5 )^2$$ $$ -1,25$$

Also: $$g(x)=(x+1, 5)^2-1,25$$

Fertig!

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