Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

Ähnliche Figuren

In dieser Einheit lernst du, wie sich der Flächeninhalt und der Rauminhalt bei ähnlichen Figuren verhält.

Figuren heißen ähnlich, wenn sie in allen Winkeln übereinstimmen und die Seitenlängen alle mit demselben Faktor $$k$$ verändert worden. $$k$$ heißt auch Ähnlichkeitsfaktor.

Wenn die ähnlichen Figuren dieselbe Größe haben, heißen sie kongruent.

Die Seitenlängen bei ähnlichen Figuren stehen in demselben Verhältnis zueinander. Du sagst auch, dass die Seitenlängen der beiden Figuren sich proportional verhalten.

Beispiel:

Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

Hier siehst du dieselben Winkel in der ähnlichen Figur. Die Seiten der Figur sind jeweils doppelt so groß.

Die Ausgangsfigur heißt im Folgenden auch $$F$$ und die Bildfigur $$B$$.
Du schreibst kurz: $$F$$ ~ $$B$$.
Du liest $$F$$ ist ähnlich zu $$B$$.

Der Flächeninhalt von ähnlichen Figuren

Der Flächeninhalt bei ähnlichen Figuren lässt sich wie folgt beschreiben.

$$A_B = k^2 * A_F$$

$$k$$ ist die Zahl, um die die ähnliche Figur verändert worden ist, der Ähnlichkeitsfaktor.
Mit Worten bedeutet das: Der Flächeninhalt der ähnlichen Figur $$B$$ ist gleich dem Ähnlichkeitsfaktor hoch $$2$$ multipliziert mit dem Flächeninhalt der Ausgangsfigur $$F$$.

Beispiel:

Sind die Seitenlängen in einer ähnlichen Figur $$B$$ verdoppelt, ist der Flächeninhalt von $$B$$ vervierfacht im Vergleich zu $$F$$.

Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

Sind die Seitenlängen in der neuen Figur $$B$$ verdreifacht, ist der Flächeninhalt von $$B$$ verneunfacht im Vergleich zu $$F$$.

Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

Sind die Seitenlängen in $$B$$ vervierfacht, ist der Flächeninhalt versechzehnfacht.

Merksatz

  1. Finde heraus, um wie viel die Seitenlänge verändert wurde ($$k$$).
  2. Diese Zahl ($$k$$) rechnest du hoch $$2$$, um zu wissen, wie sich der Flächeninhalt der Bildfigur verändert hat.

Beispiel Quadrat:

Den Flächeninhalt berechnest du mit der Formel $$A = a*a$$

Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

Seitenlänge $$1\ cm$$
Flächeninhalt $$1*1 = 1\ cm^2$$

Seitenlänge verdoppelt;
   Flächeninhalt vervierfacht

Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

Seitenlänge $$2\ cm$$
Flächeninhalt $$2 * 2 = 4 cm^2$$


Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

Seitenlänge $$1\ cm$$
Flächeninhalt $$1*1 = 1 cm^2$$

Seitenlänge verdreifacht;
   Flächeninhalt verneunfacht

Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

Seitenlänge $$3\ cm$$
Flächeninhalt $$3 * 3 = 9 cm^2$$


Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

$$A_F = a*a= a^2$$

Seitenlänge verdoppelt; $$k = 2$$

Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

Seitenlänge $$2\ cm$$
Flächeninhalt $$A_B = 2*a *2*a = 2^2*a^2$$

Allgemein: Seitenlänge ver($$k$$)facht
$$A_B=k*a*k*a = k^2*a^2$$

Volumen von ähnlichen Figuren

Auch Körper können ähnlich zueinander sein. Sie stimmen in Winkeln überein. Ihre Kantenlängen stehen in demselben Verhältnis zueinander. Auch sie wurden mit dem Ähnlichkeitsfaktor $$k$$ verändert.

Es gilt:
$$V_B = k^3*V_F$$

Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

Der rechte Quader hat jeweils die doppelten Kantenlängen. Das Volumen des ersten Quaders $$F$$ beträgt $$21,606\ cm^3$$. Der zweite Quader $$B$$ hat ein Volumen von $$172,848\ cm^3$$. Wenn sich die Kantenlänge verdoppelt, verachtfacht sich das Volumen.

Wenn die Kantenlänge des ersten Quaders verdreifacht werden, ist das Volumen $$586,175\ cm^3$$. Das Volumen ist versiebenundzwanzigfacht.

Merksatz

  1. Finde heraus, um wie viel die Seitenlänge verändert wurde ($$k$$).
  2. Diese Zahl ($$k$$) rechnest du hoch $$3$$, um zu wissen, wie sich das Volumen der Bildfigur $$B$$ im Vergleich zu der Figur $$F$$ verändert hat.

Beispiel Würfel:

Das Volumen berechnest du mit der Formel: $$V = a*a*a$$

Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

Seitenlänge $$1\ cm$$
Volumen $$1*1 *1= 1\ cm^3$$

Seitenlänge verdoppelt;
   Volumen verachtfacht

Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

Seitenlänge $$2\ cm$$
Flächeninhalt $$2 * 2 *2= 8\ cm^3$$


Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

Seitenlänge $$1\ cm$$
Volumen $$1*1 *1= 1\ cm^3$$

Seitenlänge verdreifacht;
   Volumen versiebenundzwanzigfacht

Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

Seitenlänge $$3\ cm$$
Flächeninhalt $$3 * 3 *3= 27\ cm^3$$


Flächen und Volumina bei ähnlichen Figuren / Körpern berechnen

$$V_F = a*a*a = a^3$$

Seitenlänge ver($$k$$)facht $$V_B = k*a*k*a*k*a = k^3 * a^3$$

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