Zusammengesetzte Körper aus Würfel und Quader

Zusammengesetzte Körper

Du kannst also Volumen und Oberflächeninhalt von Quader und Würfel berechnen.

Schön und gut, aber hier kommt noch was Spannenderes:
Du kannst Quader und Würfel ja zu neuen Körpern zusammensetzen!

Mit deinem Wissen zu Quader und Würfel kannst du auch Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper berechnen.

So ein Körper sieht zum Beispiel so aus:

Zusammengesetzte Körper aus Würfel und Quader

Wenn du Volumen oder Oberfläche berechnest, sind meistens mehrere Rechenwege möglich. Such dir aus, was dir am liebsten ist.

Volumen eines Quaders: $$V = a * b *c$$

Zusammengesetzte Körper aus Würfel und Quader

Das Volumen

Es gibt 2 Wege:

  1. Den zusammengesetzten Körper in einzelne Quader zerlegen

  2. Den zusammengesetzten Körper ergänzen zu einem Quader

Weg 1: Zerlegen

Möglichkeit 1: Zerlegen in oberen und unteren Quader

Zusammengesetzte Körper aus Würfel und Quader

Oberer Quader
Berechne die Höhe:
$$8$$ $$cm-3$$ $$cm =5$$ $$cm$$
$$V$$$$ = a * b *c$$
$$V = 5$$ $$cm * 3$$ $$cm * 2$$ $$cm$$
$$V= 30$$ $$cm^3$$

Unterer Quader
$$V = 3$$ $$cm * 6$$ $$cm * 2$$ $$cm$$
$$V = 36$$ $$cm^3$$

Gesamter Körper
Volumina addieren:
$$V = 30$$ $$cm^3 + 36$$ $$cm^3$$
$$V = 66$$ $$cm^3$$

So geht es auch

Möglichkeit 2: Zerlegen in linken und rechten Quader

Zusammengesetzte Körper aus Würfel und Quader

Linker Quader
$$V=8$$ $$cm*3$$ $$cm*2$$ $$cm$$
$$V=48$$ $$cm^3$$

Rechter Quader
$$V=3$$ $$cm*3$$ $$cm*2$$ $$cm$$
$$V=18$$ $$cm^3$$

Gesamter Körper
Volumina addieren:
$$V=48$$ $$cm^3+$$ $$18$$ $$cm^3$$
$$V=66$$ $$cm^3$$

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Weiter mit dem Volumen

Weg 2: Ergänzen

Ergänze den zusammengesetzten Körper zu einem großen Quader. Zusammengesetzte Körper aus Würfel und Quader

Großer Quader
$$V=8$$ $$cm*6$$ $$cm*2$$ $$cm$$
$$V=96$$ $$cm^3$$

Gelber Quader
$$V=5$$ $$cm*3$$ $$cm*2$$ $$cm$$
$$V=30$$ $$cm^3$$

Gesamter Körper
Gelben Quader vom großen Quader abziehen:
$$V=96$$ $$cm^3-30$$ $$cm^3$$
$$V=66$$ $$cm^3$$

Jetzt kommt die Oberfläche

Der Oberflächeninhalt sind ja alle Flächen, die du berühren kannst.

Bei zusammengesetzten Körpern kannst du nicht die Oberflächen der einzelnen Körper berechnen und dann addieren. Denn es gibt Flächen, die liegen aneinander oder stehen aufeinander. Die sind also nicht in der Gesamtoberfläche drin.

Zusammengesetzte Körper aus Würfel und Quader

Auch für die Oberfläche gibt es zwei Wege.

  1. Oberflächen einzelner Quader berechnen und doppelte Flächen abziehen

  2. Einzelne Flächen addieren

Zur Oberfläche

Weg 1: Oberflächen einzelner Quader berechnen und doppelte Flächen abziehen

Zerlege den zusammengesetzten Körper wie beim Voulmen. Such dir eine Möglichkeit aus.

Zusammengesetzte Körper aus Würfel und Quader

Oberfläche oberer Quader
Berechne die Höhe:
$$H=8$$ $$cm-3$$ $$cm=5$$ $$cm$$
Berechne die Breite:
$$B=6$$ $$cm-3$$ $$cm=3$$ $$cm$$
$$O=2*3$$ $$cm*5$$ $$cm$$
$$+2*5$$ $$cm*2$$ $$cm$$
$$+2*2$$ $$cm*$$ $$3$$ $$cm$$
$$=62$$ $$cm^2$$

Oberfläche unterer Quader
$$O=2*6$$ $$cm*3$$ $$cm$$
$$+2*3$$ $$cm*2$$ $$cm$$
$$+2*6$$ $$cm*2$$ $$cm$$
$$=72$$ $$cm^2$$

Fläche, die du abziehst
$$2*3$$ $$cm*2$$ $$cm=12$$ $$cm²$$

Gesamter Oberflächeninhalt
$$O=62$$ $$cm^2+72$$ $$cm^2-12$$ $$cm²=122$$ $$cm^2$$

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Weiter mit der Oberfläche

Weg 2: Einzelne Flächen addieren

Teile die Oberfläche so ein, dass du dur Rechtecke hast.

Zusammengesetzte Körper aus Würfel und Quader

Gehe die einzelnen Flächen, die du berühren kannst durch.
Addiere sie.

Ganz links
$$2$$ $$cm*8$$ $$cm=16$$ $$cm^2$$

Oberer Quader vorn und hinten
$$3$$ $$cm*5$$ $$cm=15$$ $$cm^2$$ (2 mal)

Oben
$$3$$ $$cm*2$$ $$cm=6$$ $$cm^2$$

Rechts oben
$$2$$ $$cm*5$$ $$cm=10$$ $$cm^2$$

Unterer Quader vorn und hinten
$$6$$ $$cm*3$$ $$cm=18$$ $$cm^2$$ (2 mal)

Rechts unten
$$2$$ $$cm*3$$ $$cm=6$$ $$cm^2$$

Unterer Quader oben
$$2$$ $$cm*3$$ $$cm=6$$ $$cm^2$$

Bodenfläche
$$6$$ $$cm*2$$ $$cm=12$$ $$cm^2$$

Gesamter Oberflächeninhalt
$$O=16$$ $$cm^2+2*15$$ $$cm^2+6$$ $$cm^2+10$$ $$cm^2$$
$$+2*18$$ $$cm^2$$ $$+6$$ $$cm^2+ 6$$ $$cm^2+12$$ $$cm^2$$
$$=122$$ $$cm^2$$



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