Funktionsgleichung berechnen (zwei Punkte)

Zwei Punkte reichen aus! - Zeichnerische Lösung

Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion zu bestimmen reicht es aus, zwei Punkte zu kennen.

Beispiel:

Eine Gerade geht durch die beiden Punkte $$A(–2|5)$$ und $$B(3|2,5)$$. Wenn du diese 2 Punkte ins Koordinatensystem einzeichnest, kannst du die Funktionsgleichung bestimmen.


Schritt 1: Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und zeichne die Gerade mit einem Lineal.

Funktionsgleichung berechnen (zwei Punkte)


Schritt 2: Lies den Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse $$(0|b)$$ ab.

Funktionsgleichung berechnen (zwei Punkte)

Der $$y$$-Achsenabschnittspunkt ist $$(0|4)$$.
Du weißt jetzt schon: $$4$$ ist der zu $$x=0$$ gehörige $$y$$-Wert.
In der Funktionsgleichung ist $$b= 4$$.

Eine Gerade wird durch zwei Punkte bestimmt.


Eine lineare Funktion hat eine Gerade als Graph.

Zeichnerische Lösung

Schritt 3: Bestimme mit dem Steigungsdreieck die Steigung

Funktionsgleichung berechnen (zwei Punkte)

$$2$$ nach rechts, $$1$$ nach unten → $$m=-1/2$$


Schritt 4: Stelle die Funktionsgleichung $$y = f(x) = mx + b$$ auf.

Du kennst nun m und b und kannst die Funktionsgleichung aufschreiben:

$$f(x) = -1/2 x + 4$$

In der Gleichung $$f(x) = mx + b$$ gibt $$m$$ die Steigung und $$b$$ den Abschnitt auf der $$y$$-Achse an.

Funktionsgleichung berechnen

Die Steigung kann man auch berechnen, wenn man für das Steigungsdreieck den Unterschied der $$y$$-Werte geteilt durch den Unterschied der $$x$$-Werte nimmt, also

$$m={\text{Differenz der }y \text{-Werte}}/{\text{Differenz der }x\text{-Werte}}$$

Funktionsgleichung berechnen (zwei Punkte)


Schritt 1: Berechne die Steigung.


$$m={\text{Differenz der }y \text{-Werte}}/{\text{Differenz der }x\text{-Werte}}={2,5-5}/(3-(-2))=-2,5/5=1/2$$


Du weißt jetzt, dass der Funktionsterm $$f(x) = -0,5 x + b$$ sein muss, aber den Achsenabschnitt $$b$$ kennst du noch nicht.


Schritt 2: Setze die Koordinaten des Punkts $$A(-2|5)$$ in die halb fertige Funktionsgleichung ein:

$$f (-2) = 5$$
$$(-0,5)*(-2) + b = 5$$


Schritt 3: Löse nach $$b$$ auf:

$$(-0,5)*(-2) + b = 5$$
$$1 + b = 5$$   $$| –1$$
$$b = 4$$


Schritt 4: Schreibe den Funktionsterm auf:

$$f(x) = -0,5 x + 4$$

Jeder Punkt des Graphen lässt sich mit der Funktionsgleichung berechnen :
$$f(x)$$ ist der $$y$$-Wert zu $$x$$.
Das bedeutet umgekehrt:
Jeder Punkt der Geraden muss die Funktionsgleichung erfüllen.

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Im Fußballstadion - Zeichnerische Lösung

Nach einem Fußballspiel darf es nicht zu viel Gedränge geben. Deswegen müssen pro Minute jeweils gleich viele Zuschauer das Stadion verlassen.

Nach 10 Minuten sind noch 20000 Zuschauer im Stadion, nach 15 Minuten noch 7500.

Stelle eine Funktionsgleichung auf, mit der du die Zuschauerzahl berechnen kannst, die das Spiel angesehen haben.

Schritt 1: Aus dem Aufgabentext ergeben sich die beiden Punkte $$A(10|20000)$$ und $$B(15|7500)$$.
Zeichne sie in ein Koordinatensystem ein.

Funktionsgleichung berechnen (zwei Punkte)


Schritt 2: Zeichne die Gerade mit einem Lineal und lies den Schnittpunkt $$(0|b)$$ mit der $$y$$-Achse ab.

Funktionsgleichung berechnen (zwei Punkte)

Der $$y$$-Achsenabschnittspunkt ist $$(0|45000)$$. Es gab also 45000 Zuschauer.
In der Funktionsgleichung ist $$b= 45000$$.

So sieht es allgemein aus

Aus den Koordinaten zweier Punkte $$P_1(x_1|y_1)$$ und $$P_2(x_2|y_2)$$ kann man den zugehörigen linearen Funktionsterm berechnen:

  • Berechne die Steigung. $$m =(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$$

Du weißt jetzt, dass der Funktionsterm $$f(x) =m x + b$$ sein muss, $$b$$ musst du noch berechnen.

  • Setze die Koordinaten eines der Punkte in die halb fertige Funktionsgleichung ein, z.B.

$$f (x_1) =y_1 $$
$$m*x_1 + b = y_1$$

  • Löse nach $$b$$ auf.

  • Schreibe den Funktionsterm auf:

$$f(x) = m*x + b$$

Zeichnerische Lösung

Schritt 3: Gehe vom $$y$$-Achsenabschnittspunkt 1 nach rechts und von dort parallel zur $$y$$-Achse bis zur Geraden.
An dem Steigungsdreieck kannst du die Steigung ablesen.

Funktionsgleichung berechnen (zwei Punkte)

Die Steigung ist $$m = – 2500.$$


Schritt 4: Stelle die Funktionsgleichung $$y = f(x) = mx + b$$ auf.
Du kennst nun $$m$$ und $$b$$ und kannst die Funktionsgleichung aufschreiben:

$$f(x) = -2500 x + 45000$$

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So geht’s rechnerisch

Nochmal die wichtigsten Zahlen:

Nach 10 Minuten sind noch 20000 Zuschauer im Stadion, nach 15 Minuten noch 7500.

Stelle eine Funktionsgleichung auf, mit der du die Anzahl an Zuschauern berechnen kannst, die das Spiel angesehen haben.

Schritt 1: Berechne die Steigung.

$$m={\text{Differenz der }y \text{-Werte}}/{\text{Differenz der }x\text{-Werte}}=(7500-20000)/(15-10)=-12500/5=-2500$$

Du weißt jetzt, dass der Funktionsterm $$f(x) = –2500 x + b$$ sein muss, aber den Achsenabschnitt $$b$$ kennst du noch nicht.

Schritt 2: Setze die Koordinaten des Punkts $$A(10|20000)$$ in die halb fertige Funktionsgleichung ein:

$$f (10) = 20000$$
$$(-2500)*(10) + b =20000$$

Schritt 3: Löse nach $$b$$ auf:

$$(-2500)*(10) + b =20000$$
$$-25000 + b =20000$$   $$| +25000$$
$$b = 45000$$

Schritt 4: Schreibe den Funktionsterm auf: $$f(x) = –2500 x + 45000$$



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