Zufallsexperimente und relative Häufigkeiten

Mensch ärgere Dich nicht

Tony spielt mit Freunden „Mensch ärgere Dich nicht“. Wenn
sie jetzt eine 2 würfelt, kann sie eine Spielfigur von Jonas rauswerfen.

Tja, wenn … Und keiner kann vorhersagen, ob der Würfel eine 2 zeigen wird oder nicht.

Der Würfelwurf ist deshalb ein Zufallsexperiment oder Zufallsversuch.

Aber auch Zufallsexperimente kannst du mathematisch untersuchen! Also los:

(Und was war nun mit Tony?? Sie würfelte eine 3, war ja klar… )

Zufallsexperimente und relative Häufigkeiten
Bild: Druwe & Polastri

Was ist ein Zufallsexperiment?

Ein Experiment ist dann ein Zufallsexperiment, wenn diese Eigenschaften erfüllt sind:

  • Das Experiment hat mindestens 2 eindeutige Ergebnisse, die du nicht vorhersagen kannst.
  • Das Experiment kann unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden.


Beispiele:

  • Würfel werfen
  • Münze werfen
  • Legosteine werfen
  • Lose ziehen
  • Glücksrad drehen
  • Kugeln aus einer Urne ziehen (Urnenexperiment)
  • Glücksspiele

Zufallsexperimente und relative Häufigkeiten


Genauer nachgedacht

Würfelwurf:

  • Wurf kann beliebig oft wiederholt werden
  • 6 mögliche Ergebnisse, die nicht vorhergesagt werden können

Wette über Ausgang eines Fußballspiels:

  • Wette kann beliebig oft wiederholt werden
  • 3 mögliche Ergebnisse (Sieg, Niederlage, Unentschieden), die nicht vorhergesagt werden können.

Keine Zufallsexperimente

Wette über das Explodieren einer Feuerwerksrakete:

  • kein Zufallsexperiment, da es nicht beliebig oft wiederholt werden kann

Wette über Wochentag am 1. Februar 2017:

  • kein Zufallsexperiment, da das Ergebnis „Mittwoch“ durch einen Blick in einen Kalender vorhergesagt werden kann

Münzwurf

Du kennst bestimmt viele Sportarten, bei denen 2 Mannschaften gegeneinander spielen, wie Handball, Fußball, Badminton, Tennis oder Eishockey.

Bei all diesen Sportarten wird per Münzwurf bestimmt, welche Mannschaft sich die Spielfeldhälfte aussuchen darf und welche Mannschaft den Anstoß ausführt.


Zufallsexperimente und relative Häufigkeiten
Bild: Imago (GEPA Pictures)

Der Münzwurf ist ein Zufallsexperiment: Er kann beliebig oft wiederholt werden und die beiden möglichen Ergebnisse „KOPF“ oder „ZAHL“ können nicht vorhergesagt werden.

Nachhilfe in Mathe, Englisch, Deutsch

Noch nicht kapiert?

kapiert.de kann mehr:

  • interaktive Übungen
    und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager

Münzwurf in Aktion

Tony und Titus wollen herausfinden, wie sich die Ergebnisse „KOPF“ und „ZAHL“ bei einer Reihe von Wiederholungen eines Münzwurfs verteilen. Dazu notieren sie die Ergebnisse in einer Strichliste.

Tony Titus
KOPF |||| ||||
|||| ||||
|||
|||| ||||
|||| ||||
|
ZAHL ||||||||
|||| ||||
||||  ||
|||| ||||
||||  ||||


Die Ergebnisse aus der Strichliste übertragen sie in eine Häufigkeitsliste bzw. Häufigkeitstabelle:

Tony Titus
KOPF: abs. Häufigkeit
23
21
ZAHL: abs. Häufigkeit
27
19
Summe
50
40


Tony behauptet, bei ihr sei „KOPF“ häufiger gefallen als bei Titus. Titus erwidert, dass das zwar richtig ist, er aber nur 40 Versuche gemacht hat.
Kannst du helfen?

Tony und Titus werfen einen Blick auf die Tabelle mit den relativen Häufigkeiten:

Ergebnis Tony Titus
KOPF: rel. Häufigkeit
$$frac{23}{50}$$
$$frac{21}{40}$$
ZAHL: rel. Häufigkeit
$$frac{27}{50}$$
$$frac{19}{40}$$



$$frac{23+27}{50}=frac{50}{50}=1$$

$$frac{21+19}{40}=frac{40}{40}=1$$


Um die Ergebnisse für „KOPF“ besser beurteilen zu können, stellst du die Brüche jeweils als Dezimalbruch dar:

$$frac{23}{50}=0,46$$   und   $$frac{21}{40}=0,525$$

Wegen $$0,46<0,525$$ ist der Anteil von „KOPF“ bezogen auf die Anzahl der Wiederholungen bei Titus größer.

Zufallsexperimente und relative Häufigkeiten


























Berechnung der relativen Häufigkeit: $$relative \ Häuf.$$=$$frac{ab solute \ H ä uf.}{Gesamtzahl}$$




Relative Häufigkeiten kannst du sowohl in Brüchen, Dezimalbrüchen als auch in Prozent (%) angeben.
Beispiel: $$frac{1}{4}=frac{25}{100}=0,25=25%$$

Glücksrad

Carla und Ida wollen an einem Glücksrad drehen. Zuerst sollen sie eines der Glücksräder wählen.


Zufallsexperimente und relative Häufigkeiten


Carla wählt B und begründet:
Bei B ist meine Chance größer, da die Hälfte des Glücksrades rot ist.

Ida wählt A und erklärt:
Bei A treffe ich viel eher Rot, weil die roten Felder gut verteilt sind.

Wer hat die größeren Chancen, die Farbe Rot zu erhalten?

Das „Glücksrad“ ist ein Zufallsexperiment:
Es kann beliebig oft wiederholt werden und hat die beiden eindeutigen und nicht vorhersagbaren Ergebnisse „ROT“ und „BLAU“.

Für beide Glücksräder ist die Chance, Rot zu treffen, gleich, da die Gesamtfläche für die Farbe Rot auf beiden Glücksrädern gleich groß ist. Nur darauf kommt es bei diesem Zufallsexperiment an.

Grafische Darstellungen der absoluten Häufigkeit

Titus und Ida ziehen aus einer Urne abwechselnd eine Kugel, schreiben die Farbe auf und legen die Kugel zurück.


Zufallsexperimente und relative Häufigkeiten


Titus und Ida führen das Urnenexperiment sehr häufig durch und halten ihre Ergebnisse in einer Häufigkeitsliste fest.

Ergebnisse BLAU ROT Summe
abs. Häufigkeit
60
40
100
rel. Häufigkeit $$frac{60}{100}=0,6$$ $$frac{40}{100}=0,4$$
1


Als Säulendiagramm und Balkendiagramm sehen die Ergebnisse des Zufallsexperiments so aus:


Zufallsexperimente und relative Häufigkeiten

Nachhilfe in Mathe, Englisch, Deutsch

Noch nicht kapiert?

kapiert.de kann mehr:

  • interaktive Übungen
    und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager

Streifendiagramm

Bei Häufigkeiten siehst du häufig Streifendiagramme. Hier unten siehst du ein Streifendiagramm für das Urnenexperiment.

Zur Erinnerung:

Ergebnisse BLAU ROT Summe
abs. Häufigkeit
60
40
100
rel. Häufigkeit $$frac{60}{100}=0,6$$ $$frac{40}{100}=0,4$$
1


Wähle als Länge des Streifens am besten 100 mm (= 10 cm). Das ist das Ganze. Berechne mit den relativen Häufigkeiten die Längen der Streifenabschnitte.

Ergebnis: BLAU
Länge des Abschnitts: $$frac{60}{100}$$ von $$100 \ mm$$ sind 60 mm = 6 cm
Ergebnis: ROT
Länge des Abschnitts: $$frac{40}{100}$$ von $$100 \ mm$$ sind 40 mm = 4 cm


Zufallsexperimente und relative Häufigkeiten



Noch nicht kapiert?

Screenshot kapiert.de Mathe Aufgaben EdM

Das Thema macht dir noch Schwierigkeiten?
Teste 14 Tage das Lernportal von kapiert.de!

  • alle Themen aus deinem Schulbuch
  • interaktive Übungen und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Video-Chat mit Tutoren in allen Fächern

Die Testlizenz endet nach 14 Tagen automatisch. Es entstehen keine Kosten.

Ich habe die AGB und Datenschutzhinweise gelesen und stimme ihnen zu.