Winkel an Geraden untersuchen

Winkel an einer Geradenkreuzung

Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann entstehen 4 Winkel.

Winkel an Geraden untersuchen

Bei diesen 4 Winkeln kannst du verschiedene Eigenschaften entdecken.
Du wirst

  • Scheitelwinkel und Nebenwinkel kennenlernen
  • Scheitelwinkel und Nebenwinkel berechnen

Scheitelwinkel

Je zwei „gegenüberliegende“ Winkel an einer solchen Geradenkreuzung heißen Scheitelwinkel.

Es gibt 2 Paare von Scheitelwinkeln:

Winkel an Geraden untersuchen

$$alpha$$ und $$gamma$$ liegen sich gegenüber     $$beta$$ und $$delta$$ liegen sich gegenüber

Scheitelwinkel sind gleich groß.


Beispiel:

Damit fällt es dir leicht, die Winkelweite von $$alpha$$ herauszufinden:

Winkel an Geraden untersuchen

Da $$alpha$$ und der 105°- Winkel Scheitelwinkel sind, ist auch $$alpha$$ 105° groß.

Nebenwinkel

Je zwei „nebeneinanderliegende“ Winkel an einer Geradenkreuzung heißen Nebenwinkel.

Es gibt 4 Paare von Nebenwinkeln:

Winkel an Geraden untersuchen

$$alpha$$ liegt neben $$beta$$,   $$beta$$ liegt neben $$gamma$$,    $$gamma$$ liegt neben $$delta$$,    $$delta$$ liegt neben $$alpha$$

Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
Das heißt: Die Summe der Winkelweiten zweier Nebenwinkel beträgt immer 180°.


Beispiel: Mit diesem Wissen kannst du leicht die Größe von $$alpha$$ berechnen:

Winkel an Geraden untersuchen

Da $$alpha$$ und der 75° Winkel Nebenwinkel sind, weißt du, dass die beiden Winkel zusammen 180° groß sind.

Du rechnest: 180° - 75° = 105°

$$alpha$$ ist 105° groß.

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Winkeln an Doppelkreuzungen

Wenn zwei parallele Geraden ($$g_1$$ und $$g_2$$) von einer dritten Geraden ($$h$$) geschnitten werden, dann entstehen 8 Winkel.

Winkel an Geraden untersuchen

Damit der Überblick nicht verloren geht, sind die Winkel mit $$alpha_1$$…bis $$delta_1$$ an der ersten Parallele g1 und $$alpha_2$$…bis $$delta_2$$ an der zweiten Parallele benannt.

Stufenwinkel

Stufenwinkel haben die gleiche Lage bezüglich der Parallelen und die gleiche Lage bezüglich der schneidenden Geraden.

$$alpha_1$$ und $$alpha_2$$ liegen links von h und unterhalb von $$g_1$$ bzw. $$g_2$$.

Winkel an Geraden untersuchen

Stufenwinkel sind gleich groß.
Für die Winkelweiten zweier Stufenwinkel gilt: $$alpha_1 = alpha_2$$.

Wechselwinkel

Winkel an Geraden untersuchen

Sie haben entgegengesetzte Lagen bezüglich der Parallelen und bezüglich der schneidenden Geraden:
$$alpha_2$$ liegt links von $$h$$ und unter $$g_2$$, aber $$gamma_1$$ rechts von $$h$$ und oberhalb von $$g_1$$.

Wechselwinkel werden auch als Scheitelwinkel zum Stufenwinkeln bezeichnet. In der Abbildung siehst du warum:

Winkel an Geraden untersuchen

Wenn du zu $$alpha_2$$ den Wechselwinkel suchst, gehe erst zum Stufenwinkel von $$alpha_2$$ : das ist $$alpha_1$$. Dann suche den Scheitelwinkel von diesem Stufenwinkel: das ist $$gamma_1$$.

Wechselwinkel sind gleich groß.
Für die Winkelweiten zweier Wechselwinkel gilt: $$alpha_2 = gamma_1$$.

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Zusammenfassung und Rechnen

  • Nebenwinkel sind benachbarte Winkel und ergänzen sich zu 180°.
  • Scheitelwinkel sind gegenüberliegende Winkel und sind gleich groß.
  • Stufenwinkel gibt es nur bei Doppelkreuzungen und sie sind gleich groß.
  • Wechselwinkel sind Scheitelwinkel zum Stufenwinkel und sind auch gleich groß.

Jetzt wird gerechnet

Bestimme die unbekannten Winkelgrößen in der Abbildung.
Die Abbildung sieht anders aus? Kein Problem, das mit den Winkeln geht genauso.

Winkel an Geraden untersuchen

Lösung:

Die beiden bekannten Winkel und der Winkel $$alpha$$ bilden zusammen einen gestreckten Winkel. Also: 100° + 50° + $$alpha$$ = 180° $$rarr$$ $$alpha$$ = 30°

Da $$gamma$$ der Scheitelwinkel zu $$alpha$$ ist, ist auch $$gamma$$ = 30°

$$beta$$ ist der Scheitelwinkel zum 100° großen Winkel $$rarr$$ $$beta$$ = 100°

$$delta$$ ist der Scheitelwinkel zum 50° großen Winkel $$rarr$$ $$delta$$ = 50°

Weiter geht‘s

Bestimme die Größe der 3 unbekannten Winkel.

Winkel an Geraden untersuchen

Lösung:

Der 50° große Winkel und $$gamma$$ sind Nebenwinkel, also zusammen 180° groß. $$rarr$$ 180° - 50° = 130°
$$gamma$$ = 130°

$$beta$$ ist Scheitelwinkel zu $$gamma$$ $$rarr$$ $$beta$$ = 130°

Um $$alpha$$ zu bestimmen, musst du ein wenig kombinieren:
Der 20° große Winkel hat einen Scheitelwinkel, der „unterhalb“ von $$alpha$$ liegt und auch 20° groß ist. Laut Zeichnung sind $$alpha$$ + 20° = 50° $$rarr$$ $$alpha$$ = 30°

Winkel im Dreieck

Oft findest du in Mathematikbüchern auch Aufgaben zu Dreieckswinkeln. Du erinnerst dich vielleicht noch: Die Summe aller 3 Winkel in einem Dreieck ist 180°.

Bestimme die Größe von $$alpha$$ und $$beta$$.

Winkel an Geraden untersuchen

Lösung:

$$alpha$$ ist leicht zu berechnen: Nutze die Winkelsumme des rechten „Teildreiecks“.
60° + 55° + $$alpha$$ = 180° $$rarr$$ $$alpha$$ = 65°

Um $$beta$$ zu bestimmen musst du erst einen „Umweg“ wählen, weil du im linken Teildreieck nur den 40°-Winkel kennst. Um über die Winkelsumme einen fehlenden Winkel zu berechnen, brauchst du aber immer 2 bekannte Winkel. Nenne den Winkel einfach $$gamma$$. Nun siehst du, dass $$gamma$$ und $$alpha$$ ja Nebenwinkel sind, also zusammen 180° groß sind. Und da du eben schon $$alpha$$ berechnet hast, rechnest du: 65° + $$gamma$$ = 180° $$rarr$$ $$gamma$$ = 115°.
Nun kannst du wieder über die Winkelsumme im Dreieck $$beta$$ berechnen:
115° + 40° + $$beta$$ = 180° $$rarr$$ $$beta$$ = 25°

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