Potenzen mit ganzzahligen Exponenten mit Variablen

Potenzen gehen auch mit Buchstaben

Bisher hast du Potenzen mit Zahlen als Basis kennengelernt. Du kannst natürlich auch Variable verwenden!

Beispiele:

$$1/(a*a*a)=1/a^3=a^(-3)$$

$$1/(b*b*b*b)=1/b^4=b^(-4)$$

$$1/x=x^(-1)$$

$$1=b^0$$

$$1/a^n=a^(-n)$$

Sonderfall: $$a^0=1$$

$$2^4 = 2 * 2 * 2 * 2$$

└──┬───┘

4-mal der Faktor 2


$$5^7 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5$$

└─────┬──────┘

7-mal der Faktor 5


Allgemeine Regel:
$$a^n = a * a * a * … * a$$

└────┬────┘

n-mal der Faktor a  

Kombinationen sind möglich

In der Basis kann auch eine Variable mit einer Zahl oder ein Produkt aus zwei Variablen stehen.

Beispiele


$$(3a)^(-3)=1/((3a)^3)=1/(3a*3a*3a)=1/(27a^3)$$


$$(rs)^(-2)=1/(rs)^2=1/(rs*rs)=1/(r^2*s^2)$$

Wenn der Exponent negativ und die Basis ein Produkt ist, übersetze zuerst die negative Hochzahl und beachte dann beim Ausmultiplizieren des Nenners die Rechengesetze.

Brüche als Basis

Du weißt schon, dass du Zähler und Nenner eines Bruchs vertauschst, um den Kehrbruch zu erhalten.

Weg 1

$$((2x)/y)^(-3)=1/((2x)/y)^3$$ $$=1/((2x)/y*(2x)/y*(2x)/y)=1/((8x^3)/y^3)=y^3/(8x^3)$$

Wenn die Basis ein Bruch und die Hochzahl negativ ist, übersetze zuerst die negative Hochzahl, berechne und vereinfache den Nenner und bilde zum Schluss den Kehrbruch.


Weg 2

Wenn du keine Doppelbrüche magst, bilde zuerst den Kehrbruch der Basis:

$$((2x)/y)^(-3)=(y/(2x))^3$$

$$=y/(2x)*y/(2x)*y/(2x)=(y*y*y)/(2x*2x*2x)=y^3/(8x^3)$$

Wenn die Basis ein Bruch und die Hochzahl negativ ist, kannst du auch erst den Kehrbruch bilden. Dann potenzierst du mit der positiven Hochzahl.

$$(a/b)^(-1)=1/(a/b)=b/a$$

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Es kommt noch besser: Doppelbrüche

Doppelbrüche formst du am besten zuerst in einen einfachen Bruch um. Multipliziere dazu mit dem Kehrbruch des Nenners.

$$((x/2)/(1/(3x)))^(-3)=(x/2*(3x)/1)^(-3)=((3x^2)/2)^(-3)$$

Dann wieder Weg 1 oder Weg 2, weil du einen Bruch als Basis hast:

$$=(2/(3x^2))^3=2/(3x^2)*2/(3x^2)*2/(3x^2)=(8)/((3x^2)^3)=8/(27x^6)$$

Wenn die Basis ein Doppelbruch ist, multiplizierst du mit dem Kehrbruch des Nenners, um einen einfachen Bruch zu erhalten. Übersetze dann die negative Hochzahl.

Bei Doppelbrüchen muss das Gleichheitszeichen genau richtig sitzen:
Es gilt $$1/(3/2)=2/3$$, aber $$(1/3)/2=1/6$$

Das Finale: Summe oder Differenz

Wenn die Basis eine Summe ist oder im Zähler oder Nenner der Basis eine Summe oder Differenz vorkommt, musst du besonders auf Rechenregeln und Klammern achten.

Beispiele

$$(x+y)^(-2)=1/((x+y)^2)=1/(x^2+2xy+y^2)$$

$$((a+b)/(a-b))^(-1)=(a-b)/(a+b)=(a-b)*(a+b)^(-1)$$

Wenn die Basis eine Summe und der Exponent negativ ist, übersetze zuerst den negativen Exponenten und setze Klammern dort, wo sie notwendig sind.
Multipliziere dann richtig aus. Dabei können dir die binomischen Formeln helfen

In einem Bruch müssen Zähler und Nenner nicht extra eingeklammert werden. Wenn du aber den Bruch als Produkt schreibst, musst du Summen oder Differenzen in Klammern setzen.
Beispiel: $$(x+3)/5=1/5*(x+3)$$



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