Ergebnisse von Zufallsexperimenten

Zufallsexperimente und ihre Ergebnismengen

Du weißt schon, dass du bei Zufallsexperimenten das Ergebnis nicht vorhersagen kannst.

Trotzdem kannst du Zufallsexperimente gut beschreiben, und zwar mit der sogenannten Ergebnismenge und Ereignissen.

Ergebnismenge

Beispiel: Urnenexperiment


Ergebnisse von Zufallsexperimenten


Beim Urnenexperiment ziehst du mit geschlossenen Augen eine Kugel aus einer Urne.

Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperiments ist ein Ergebnis. Alle Ergebnisse stehen in der Ergebnismenge.

Bei der Urne kannst du als Ergebnisse ROT oder GELB oder BLAU bekommen.

Die Ergebnismenge schreibst du so: {ROT; GELB; BLAU}

Mengen fassen einfach irgendwelche Elemente zusammen. Reihenfolge und Anzahl sind nicht wichtig. Deshalb kommt in der Menge nicht mehrmals ROT vor, obwohl ja 3 rote Kugeln in der Urne sind.

Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments schreibst du in die Ergebnismenge mit geschweiften Klammern. In der Menge trennst du die Ergebnisse mit einem Semikolon ; .

Beispiele für Ergebnismengen

Würfeln:
Ergebnismenge:
{1; 2; 3; 4; 5; 6}

Münze werfen:
Ergebnismenge: {Kopf (K); Zahl (Z)}

Glücksrad 1:

Ergebnisse von Zufallsexperimenten


Ergebnismenge: {0; 1; 2; 3; 4; 5}

Glücksrad 2:

Ergebnisse von Zufallsexperimenten


Ergebnismenge: {BLAU; GELB; BRAUN; ROT; GRÜN}

Ergebnisse von Zufallsexperimenten
Bild: fotolia.com (p!xel 66)

Unmöglich - möglich - sicher

Meistens interessiert dich bei einem Zufallsexperiment nur ein bestimmtes Ereignis. Ein Ereignis ist eine Teilmenge der ganzen Ergebnismenge. Das guckst du dir am besten an einem Beispiel an:

Beispiel: Würfeln

Ergebnismenge: {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Mögliche Ereignisse:

  • Ereignis „gerade Zahl“: {2; 4; 6}
  • Ereignis „Primzahl“: {2; 3; 5}

Es gibt auch unmögliche Ereignisse:

  • Ereignis „Zahl größer 6“: { }
    Es gibt keine Augenzahl für dieses Ereignis. Die Menge ist leer. Die leere Menge schreibst du so: { }

Und es gibt das sichere Ereignis:

  • Ereignis „Zahl kleiner als 7, aber größer als 0“: {1; 2; 3; 4; 5; 6}
    Das ist die komplette Ergebnismenge. Dieses Ereignis tritt immer ein, wenn du einen Würfel würfelst.

Du führst ein Zufallsexperiment durch. Eine Teilmenge der Ergebnismenge heißt Ereignis.

Es gibt:

  • unmögliche Ereignisse: So ein Ereignis tritt niemals auf.
    Schreibweise: { } $$rarr$$ Das ist die leere Menge.
  • mögliche Ereignisse: Die kannst du in eine Menge schreiben.
  • sichere Ereignisse: So ein Ereignis tritt immer auf, wenn du das Zufallsexperiment durchführst.
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Häufigkeiten und Ereignisse

Fehlt noch, dass du die Häufigkeiten von Ereignissen angibst.

Beispiel:


Ergebnisse von Zufallsexperimenten


Aus dieser Urne mit farbigen und nummerierten Kugeln wurde hundertmal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.

So sieht die Häufigkeitstabelle aus:

Ereignis absolute Häufigkeit relative Häufigkeit
„ROT mit beliebiger Zahl“
25
0,25
„GELB mit beliebiger Zahl“
40
0,40
„BLAU mit beliebiger Zahl“
35
0,35
„SCHWARZ mit beliebiger Zahl“ (unmögliches Ereignis)
0
0
„Zahl kleiner 13 mit beliebiger Farbe“ (sicheres Ereignis)
100
1


Das kannst du aus der Tabelle ableiten:

  • unmögliche Ereignisse: relative Häufigkeit ist immer 0.
  • mögliche Ereignisse: 0 < relative Häufigkeit < 1
    (Die relative Häufigkeit ist immer größer als 0 und kleiner als 1.)
  • sichere Ereignisse: relative Häufigkeit ist immer 1.





Berechnung der relativen Häufigkeit: $$relative \ Häuf.=frac{ab solute \ H ä uf.}{Gesamtzahl}$$

Relative Häufigkeiten kannst du sowohl in Brüchen, Dezimalbrüchen als auch in Prozent (%) angeben.
Beispiel: $$frac{1}{4}=frac{25}{100}=0,25=25%$$

Beispiel zum Schluss: Kartenspiel

Kennst du das Kartenspiel Skat? Beim Skat wird das „ganz normale“ Spielblatt mit 32 Karten verwendet. Die Symbole heißen Kreuz, Herz, Pik und Karo.

Hier siehst du das komplette Blatt:

Ergebnisse von Zufallsexperimenten

Die Karten haben bestimmte Punkte:

Karte Punktwert
Ass
11
Zehn
10
König
4
Dame
3
Bube
2
9, 8, 7
0


Ein Zufallsexperiment dazu: Ziehe eine Karte aus den 32 verdeckten Karten.

Beispiele für Ereignisse:

  • Ereignis „Ass“: {Kreuz-Ass; Pik-Ass; Herz-Ass; Karo-Ass}
  • Ereignis „Sechs“: { }
  • Ereignis „schwarze Dame“: {Kreuz-Dame; Pik-Dame}
  • Ereignis „Karte mit dem Punktwert 10“: {Kreuz-Zehn; Pik-Zehn; Herz-Zehn; Karo-Zehn}


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