Lineare Gleichungssysteme lösen

Lineare Gleichungssysteme - bunte Mischung

Puh, mit linearen Gleichungssystemen hast du ganz schön zu rechnen. Du kennst 3 Lösungsverfahren:

  • Gleichsetzungsverfahren
  • Einsetzungsverfahren
  • Additionsverfahren

Aber wann nimmst du welches Verfahren? Das hängt von dem Gleichungssystem ab. Mal ist das eine, mal das andere Verfahren bequemer zum Rechnen.

Aber: Alle Verfahren führen immer zur richtigen Lösung. Bloß der Rechenaufwand ist größer oder kleiner.

Wenn du dich also auf ein Verfahren eingeschossen hast und nur das nehmen willst, kannst du das machen.

Wenn du möglichst wenig Rechenaufwand willst, bekommst du hier ein paar Tipps.

Mit allen Verfahren kannst du jedes Gleichungssystem lösen. Welches Verfahren am geeignetsten ist, hängt von dem Gleichungssystem ab.

  • Mit einem der Verfahren machst du aus 2 Gleichungen (meist mit $$x$$ und $$y$$) eine Gleichung mit einer Variablen.
  • Löse die neue Gleichung nach der Variablen auf.
  • Berechne die andere Variable.
  • Führe die Probe durch.
  • Gib die Lösungsmenge an. $$L={(x|y)}$$

Wann nimmst du das Gleichsetzungsverfahren?

Wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen ($$x=…$$ oder $$y=…$$) umgestellt sind, nimmst du am besten das Gleichsetzungsverfahren.

Beispiel 1:

$$ I. y = 6x-4$$

$$ II. y = 3x+2$$

1. Stelle beide Gleichungen nach einer Variablen um. (Musst du bei diesem Beispiel nicht mehr machen.)

2. Setze die Gleichungen gleich.

$$6x-4=3x+2$$

3. Löse die neue Gleichung nach einer Variablen auf.

$$6x-4=3x+2$$  $$|-3x$$   $$|+4$$

$$x=2$$

4. Berechne die andere Variable.

$$I. y=6·2-4=8$$

5. Führe die Probe durch.

$$ I. 8=6*2-4 rArr 8=8 $$

$$ II. 8=3*2+2 rArr8=8$$

6. Gib die Lösungsmenge an.

$$L={(2|8)}$$

Beispiel 2:

Das Verfahren kannst du auch anwenden, wenn du die Gleichungen „leicht“ in diese Form umstellen kannst.

$$I.$$ $$y=2x+3$$

$$II. y+2,5=5+3x$$  $$|-2,5$$

$$I.$$ $$y = 2x+3$$

$$II.$$ $$y = 2,5+3x$$

Dann geht’s weiter wie gewohnt.


Nimm das Gleichsetzungsverfahren, wenn beide Gleichungen 2 gleiche Seiten haben oder wenn du das Gleichungssystem einfach in diese Form bringen kannst.

Wann nimmst du das Einsetzungsverfahren?

Wenn eine Gleichung nach einer Variablen umgestellt ist ($$x=…$$ oder $$y=…$$), nimmst du am besten das Einsetzungsverfahren.

Beispiel 1:

$$ I. y=$$ $$3x-4$$

$$ II. 3x+2*$$$$y$$ $$=10$$

1. Stelle eine der beiden Gleichungen nach einer günstigen Variablen um. (Musst du hier nicht mehr machen.)

2. Setze den Term für die Variable in die andere Gleichung ein.
Einsetzen von $$3x-4$$ für $$y$$ in der 2. Gleichung

$$II. 3x+2*$$$$(3x-4)$$ $$=10$$

$$3x+6x-8=10$$

3. Löse die neue Gleichung nach der Variablen auf.
Umstellen der Gleichung nach $$x$$

$$3x+6x-8=10$$

$$9x-8=10$$  $$|+8$$

$$9x=18$$  $$|:9$$

$$x=2$$

4. Berechne die andere Variable.
Einsetzen von $$x=2$$ in eine der beiden Ausgangsgleichungen

$$I. y=3·$$$$2$$$$-4=2$$

5. Führe die Probe durch:

$$ I. 2=3*2-4  rArr  2=2 $$

$$ II. 3*2+2*2=10 rArr 10=10$$

6. Gib die Lösungsmenge an.

$$L={(2|2)}$$

Beispiel 2:

Das Verfahren kannst du auch anwenden, wenn du einen „größeren“ Term (hier 2y) ersetzen kannst.

$$I.  2y=$$ $$-6x+2$$

$$II. 4x+$$ $$2y$$ $$=6$$


$$II. 4x+($$$$-6x+2$$$$)=6$$

Dann geht’s weiter wie gewohnt.


Nimm das Einsetzungsverfahren, wenn eine Gleichung nach einer Variablen oder einem Term umgestellt ist und die Variable oder der Term genau so in der anderen Gleichung vorkommt. Dann kannst du die Variable/den Term ersetzen.

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Wann nimmst du das Additionsverfahren?

Wenn du in den beiden Gleichungen entgegengesetzte Terme findest, nimmst du am besten das Additionsverfahren. Entgegengesetzte Terme sind sowas wie $$3x$$ und $$-3x$$ oder $$-0,5y$$ und $$0,5y$$.

Beispiel 1:

$$ I. 4x$$$$-2y$$ $$=5$$

$$II. 3x$$$$+2y$$ $$=9$$

1. Multipliziere eine der beiden Variablen so, dass sie die Gegenzahl der Variablen in der anderen Gleichung ergibt. (Musst du hier nicht mehr machen.)

2. Addiere beide Gleichungen.

$$4x$$$$-2y$$$$+3x$$$$+2y$$ $$=5+9$$

$$7x=14$$

3. Löse die neue Gleichung nach der Variablen auf.
Umstellen der Gleichung nach $$x$$

$$7x=14$$   $$|:7$$

$$x=2$$

4. Berechne die andere Variable.
Einsetzen von $$x=2$$ in eine der beiden Ausgangsgleichungen

$$I. 4*2-2y=5$$

$$y=1,5$$

5. Führe die Probe durch.

$$I. 4*2-2*1,5=5 rArr  5=5$$

$$II. 3*2+2*1,5=9 rArr 9=9$$

6. Gib die Lösungsmenge an.

$$L={(2|1,5)}$$

Beispiel 2:
Auch wenn du das Gleichungssystem umformst, kannst du das Additionsverfahren anwenden.

$$ I. -5x$$ $$-y$$ $$=2$$ $$|*3$$

$$II. -x$$ $$+3y$$ $$=4$$

$$ I. -15x$$ $$-3y$$ $$=6$$

$$II.   -x$$ $$+3y$$ $$=4$$

Dann geht’s weiter bei Schritt 2.


Nimm das Additionsverfahren, wenn in den beiden Gleichungen entgegengesetzte Terme (wie $$2x$$ und $$-2x$$) stehen oder du einfach diese Form herstellen kannst.

Schwieriges Gleichungssystem

Tja, oft haben die Gleichungssysteme aber nicht eine „einfache“ Form, sodass du das günstigste Verfahren sofort erkennst. Aber wie gesagt: Nimm dein Lieblingsverfahren oder schau dir die Zahlen vor den Variablen genauer an. Vielleicht siehst du, durch welche Umformung du ein Verfahren günstig anwenden kannst.

Beispiel:

$$ I. 1/4-3/2x=–3/4y$$

$$ II. 2/3+2x=5/6y$$

Lösen mit dem Additionsverfahren

Vor dem x stehen zumindest schon die entgegengesetzten Vorzeichen. Ziel: Vor dem x sollen entgegengesetzte Zahlen stehen.

Zuerst formst du aber so um, dass du keine Brüche mehr hast. Multipliziere mit dem Hauptnenner der Brüche.

 $$ I. 1/4-3/2x=-3/4y$$ $$|·4$$

 $$ II. 2/3+2x=5/6y$$   $$|·6$$

Wenn du jetzt noch $$*2$$ in der 1. Gleichung rechnest, kannst du super das Additionsverfahren anwenden.

 $$I. 1$$ $$-6x$$ $$=-3y$$    $$|*2$$
 $$ II. 4$$ $$+12x$$ $$=5y$$

 $$ I. 2$$ $$-12x$$ $$=-6y$$
 $$ II. 4$$ $$+12x$$ $$=5y$$

 $$I.+II. 6=-1y$$

Rechne weiter und du erhältst:

$$y=-6$$ und  $$x=-17/6$$

$$L={(-17/6;-6)}$$

Lösen mit dem Einsetzungsverfahren

Ziel: In der 1. und 2. Gleichung soll ein gleicher Term stehen.

Forme wieder so um, dass du keine Brüche mehr hast.

 $$ I. 1/4-3/2x=-3/4y$$ $$|·4$$

 $$ II. 2/3+2x=5/6y$$   $$|·6$$

Forme so um, dass der gleiche x-Term in $$I$$ und $$II$$ steht. Und der x-Term soll oben allein stehen.

 $$I. 1-6x=-3y$$    $$|$$$$-1$$
 $$ II. 4+12x=5y$$

 $$I.$$ $$-6x=-3y-1$$ $$|$$$$*(-2)$$
 $$ II. 4+12x=5y$$

 $$I.$$ $$12x$$ $$=$$ $$6y+2$$
 $$ II. 4+12x=5y$$

Jetzt kannst du das Einsetzungsverfahren anwenden.

 $$ II. 4+$$ $$6y+2$$ $$=5y$$

$$y=-6$$

Rechne weiter wie gewohnt:

$$x=-17/6$$

$$L={(-17/6;-6)}$$

Es gibt nicht immer genau eine Lösung

Keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Es gibt nicht immer eine Lösung und manchmal unendlich viele Lösungen eines linearen Gleichungssystems.

1. Beispiel
Gleichungssystem „ohne“ Lösung

 $$I.$$   $$5x-3$$ $$=y$$
 $$II. 2$$ $$y$$ $$=10x+4$$

Mit Einsetzungsverfahren und nach Umformung erhältst du:
 $$y$$  in  $$II. 2·(5x-3)=10x+4$$

$$10x-6=10x+4$$  |$$-10x$$

$$-6=4$$

Das ist ein Widerspruch, es gibt also keine Zahlen $$x$$ und $$y$$, die das LGS erfüllen. Die Lösungsmenge ist leer, $$L={}$$.

2. Beispiel
Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen.

$$I. 5x+2=y$$

$$II. 3y=15x+6$$

Mit Einsetzungsverfahren und nach Umformung erhältst du:

$$y$$ in $$II.$$ $$3·(5x+2)=15x+6$$

$$15x+6=15x+6$$

Diese Gleichung ist für alle reellen Zahlen $$x$$ erfüllt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Stelle zur Angabe der Lösungsmenge eine der beiden Gleichungen nach $$y$$ um. Super, bei Gleichung $$I$$ ist das schon so.:-)

Also $$L={(x|y)$$ $$|$$ $$y=5x+2}$$

Gesprochen heißt es: Die Lösungsmenge besteht aus den Zahlenpaaren $$(x|y) $$, für die gilt: $$y=5x+2$$

Lineare Gleichungssysteme können keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben. Wenn Gleichungssysteme Lösungen haben, sind die Lösungen Zahlenpaare (x|y).

Für die leere Lösungsmenge $$L={}$$ ist auch diese Schreibweise möglich: $$L=O/$$.

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