Dritte Wurzeln berechnen

Erinnerung: Die Quadratwurzel

Du kennst schon die Quadratwurzel. Sie ist die „Umkehrung“ von „hoch 2“.

$$sqrt121= 11$$, denn $$11^2 = 11 cdot 11 = 121$$

Die Wurzel von $$x$$ ist die nicht-negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert wieder $$x$$ ergibt.

Dritte Wurzeln berechnen

Wurzeln kann zwar dein Taschenrechner berechnen. Aber trotzdem wird es dir helfen, wenn du die Quadratzahlen gut im Kopf hast.

Was ist die 3. Wurzel?

Du kannst nicht nur „hoch 2“, sondern auch „hoch 3“ umkehren! Dazu brauchst du die 3. Wurzel, oder „Kubikwurzel“.

$$root 3 (8)= 2$$, denn $$2^3 = 2*2*2 = 8$$


3. Wurzel

$$uarr$$

$$root 3(8)=2$$

$$darr$$

Radikand

$$root 3(a)=b$$ $$rarr$$Die 3. Wurzel ist die nicht-negative Zahl b, die als dritte Potenz (b³) die Zahl a ergibt.
$$a$$ ist eine reelle, nicht-negative Zahl: $$a in RR$$ und $$a ge 0$$. Dann gilt auch $$b in RR$$ und $$b ge 0$$


Dritte Wurzeln berechnen


Das Ziehen der 3. Wurzel ist das Umkehren der 3. Potenz.

Die kleine 3 am Wurzelzeichen bedeutet, dass du die 3. Wurzel ziehst.

Geometrisch

Quadrat

Den Flächeninhalt eines Quadrats berechnest du mit $$A=a^2$$. Dabei ist $$a$$ die Seitenlänge.
Also gilt umgekehrt: $$sqrtA=a$$

Dritte Wurzeln berechnen


Die Wurzel des Flächeninhaltes $$A=9$$ des Quadrates ist die Seitenlänge $$a=3$$.
$$sqrt 9 = 3$$, denn $$3^2=9$$.

Würfel

Wie kriegst du die Seitenlänge eines Würfels raus?

Dritte Wurzeln berechnen


Das Volumen $$V$$ eines Würfels berechnest du mit $$V=a^3$$. Also gilt $$root (3)V=a$$.


Die 3. Wurzel des Volumens $$V=8$$ des Würfels ist die Seitenlänge $$2$$.
$$root 3 (8)= 2$$, denn $$2^3 = 8$$

Das Wort „Kubik“ stammt von „Kubus“. Das bedeutet Würfel.

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Ein paar Beispiele

$$root 3 (1)=1$$, denn $$1^3=1$$

$$root 3 (8)=2$$, denn $$2^3=8$$

$$root 3 (27)=3$$, denn $$3^3=27$$

$$root 3 (64)=4$$, denn $$4^3=64$$

$$root 3 (125)=5$$, denn $$5^3=125$$

$$root 3 (1 000)=10$$, denn $$10^3=1000$$

Jetzt auch mit Komma

Auch Dezimalzahlen haben Kubikwurzeln:

$$root 3 (3,375)=1,5$$

$$root 3 (0,125)=0,5$$

$$root 3 (0,001)=0,1$$

$$root 3 (15,625)=2,5$$

Und Brüche

$$root 3(8/27)=2/3$$, denn $$(2/3)^3=2/3*2/3*2/3=8/27$$

$$root 3(1/125)=1/5$$, denn $$(1/5)^3=1/5*1/5*1/5=1/125$$

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Irrational?

Du hast jetzt eine Menge 3. Wurzeln gesehen, die natürliche Zahlen sind (64) oder Dezimalzahlen (0,5) oder Brüche. Die meisten 3. Wurzeln sind allerdings irrational, das heißt nicht-abbrechende, nicht-periodische Dezimalzahlen.

Beim Berechnen hilft dir der Taschenrechner. Suche die Taste für die 3. Wurzel und tippe ein:

$$root 3(x)$$  $$ 15$$
oder
 $$ 15$$ $$root 3(x)$$

und der Taschenrechner gibt dir $$2,4662120743…$$ aus. Die Anzahl der Nachkommastellen kann verschieden sein, je nachdem, wie viel Platz auf deinem Display ist.
Meist sollst du auf 2 Nachkommastellen runden:
$$root 3(15) approx 2,47$$

Irrationale Zahlen kennst du schon von den Quadratwurzeln. $$sqrt2$$ oder $$sqrt3$$ sind irrationale Zahlen.

Buchstabensalat

Du ahnst es schon: Was mit Zahlen geht, geht auch mit Variablen.:-) Bei Variablen muss bloß immer dabei stehen, welche Zahlen du einsetzen kannst.

Beispiele:

$$root 3 (x^3)=x$$ - mit $$x ge0$$

$$root 3 (x^6)= x^2$$, denn $$(x^2)^3=x^6$$ - mit $$x ge0$$

$$root 3 (1/y^6)= 1/y^2$$, denn $$(1/y^2)^3=1^3/((y^2)^3) = 1/y^6$$ - mit $$y ge0$$

Intervallschachtelung

Mit der Intervallschachtelung kannst du die 3. Wurzel näherungsweise berechnen, ohne die Wurzeltaste deines Taschenrechners zu benutzen.

Beispiel: $$root 3 (52)$$

Hinweis: Die blau markierten Rechenschritte berechnest du mit dem Taschenrechner.

1. Schritt: Das erste Intervall finden

Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt $$root 3 (52)$$?

  • Probiere es mit den Kubikzahlen $$1^3$$, $$2^3$$, $$3^3$$, $$4^3, … $$ aus.
  • Es gilt $$3^3 = 27 le 52 le 4^3 = 64$$. Also liegt $$root 3 (52)$$ zwischen $$3$$ und $$4$$.

2. Schritt: Schachtele das Intervall weiter ein

  • Füge eine Nachkommastelle an.
  • Probiere mit dem Taschenrechner, zwischen welchen der Zahlen $$(3,1)^3, (3,2)^3, (3,3)^3, …, (3,9)^3$$ die Zahl $$52$$ liegt.
  • $$3,7leroot 3 (52)le3,8$$ , weil $$(3,7)^3=50,65$$$$le52le$$$$(3,8)^3=54,87$$

3. Schritt: Zwei Nachkommastellen

  • Berechne mit dem Taschenrechner, zwischen welchen der Zahlen $$(3,71)^3, (3,72)^3, (3,73)^3, …, (3,79)^3$$ die Zahl $$52$$ liegt.
  • $$3,73leroot 3 (52)le3,74$$ , weil $$(3,73)^3=51,9$$$$le52le$$$$(3,74)^3=52,31$$

3. Schritt: Drei Nachkommastellen

  • Finde mit dem Taschenrechner heraus, zwischen welchen der Zahlen $$(3,731)^3, (3,732)^3, (3,733)^3, …, (3,739)^3$$ die Zahl $$52$$ liegt.
  • $$3,732leroot 3 (52)le3,733$$ , weil $$(3,732)^3=51,98$$$$le52le$$$$(3,733)^3=52,02$$

Mit jedem Schritt grenzt du $$root 3 (52)$$ genauer ein. Da $$root 3 (52)$$ irrational ist, erhältst du aber niemals den exakten Wert.

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