Den 2. Strahlensatz anwenden

Der zweite Strahlensatz

Der 1. Strahlensatz gilt für Beziehungen auf 2 Halbgeraden (Strahlen).

Da es hilfreich ist, auch die Parallelen miteinzubeziehen, gibt es den 2. Strahlensatz.

Den 2. Strahlensatz anwenden

Wenn 2 durch den Punkt $$Z$$ verlaufende Strahlen von 2 parallelen Geraden geschnitten werden, gilt:

$$bar(ZA)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(A’B’)$$

In Worten:
Die kurze Strahlstrecke zu der kurzen Parallelen verhält sich genauso wie die lange Strahlstrecke zu der langen Parallelen.
Oder:
Die Strecke $$bar(ZA)$$ verhält sich zu der Strecke $$bar(AB)$$ genauso wie die Strecke $$bar(ZA’)$$ zu der Strecke $$bar(A’B’)$$.

Wenn der 2. Strahlensatz so aufgeschrieben ist, bedeutet er dasselbe.

$$|AB|/|A’B’| = |ZA|/|ZA’|$$

Die Strecke in Betragsstrichen steht für die Länge der jeweiligen Strecke.

 

Auch der 2. Strahlensatz gilt für alle ähnlichen Figuren, die von einem Punkt aus gestreckt wurden.

Der zweite Strahlensatz in Farbe

Eine Darstellung für den 2. Strahlensatz siehst du hier. Es gilt: $$g$$ ist parallel zu $$h$$.

Den 2. Strahlensatz anwenden

Umstellung des zweiten Strahlensatzes

Die Gleichung kannst du umstellen. Aus

$$bar(ZA)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(A’B’)$$

wird dann

$$bar(A’B’)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(ZA)$$.

Hier setzt du erst die beiden parallelen Strecken zueinander in Beziehung. In Farbe sieht das so aus:

Den 2. Strahlensatz anwenden

Du kannst auch die Seiten der Gleichung tauschen:

Den 2. Strahlensatz anwenden

Ebenso darfst du jeweils Zähler und Nenner tauschen:

Den 2. Strahlensatz anwenden

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Der obere Strahl in der Figur

Du kannst den 2. Strahlensatz auch mit dem oberen Strahl bilden.

Den 2. Strahlensatz anwenden

Mit diesem Strahl lautet der 2. Strahlensatz:

$$bar(ZB)/bar(AB) = bar(ZB’)/bar(A’B’)$$

Mit Farben dargestellt:

Den 2. Strahlensatz anwenden

Die beiden parallelen Strecken kommen immer beide im 2. Strahlensatz vor. Es wird immer nur ein Strahl verwendet.

Jetzt wird gerechnet

Den 2. Strahlensatz anwenden

Die rosa Strecke ist gesucht.
Schreibe den Strahlensatz auf, in dem die rosa Strecke und die gegebenen Strecken vorkommen:

$$bar(ZA)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(A’B’)$$

Setze die Zahlen ein, die du gegeben hast:

$$8/10 = 14/?$$ $$|$$ Kehrwert

$$10/8 = ?/14$$ $$|*14$$

$$(10*14)/8 = ?$$ $$|$$ Kürzen

$$(5*7)/2=?$$

$$35/2 = ?$$

$$17,5 = ?$$

Du kannst den Strahlensatz auch gleich so notieren, dass $$?$$ im Zähler steht.

2. Strahlensatz an sich schneidenden Geraden

Es gibt den 2. Strahlensatz auch an sich schneidenden Geraden.

Den 2. Strahlensatz anwenden

Es gilt $$bar(A’B’)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(ZA)$$.

Der 2. Strahlensatz an sich schneidenden Geraden erinnert an ein N oder ein Z. Der Buchstabe kann auch in gespiegelter Form vorliegen.

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Fehlerquelle

Den 2. Strahlensatz anwenden

Es gibt beim 2. Strahlensatz nicht die Möglichkeit, die Strecke $$bar(A A’)$$ oder die Strecke $$bar(BB’)$$ zu verwenden.

Minibeweis für den zweiten Strahlensatz

Zu beweisen ist:

$$bar(ZA)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(A’B’)$$

Den 2. Strahlensatz anwenden

Die Geraden $$g$$ und $$h$$ sind parallel. Die Figur lässt sich mit einer zentrischen Streckung mit dem Faktor $$k$$ angeben.

Deswegen gilt:

$$k * bar(AB) = bar(A’B’)$$   $$|:bar(AB)$$

und

$$k*bar(ZA) = bar(ZA’)$$   $$|:bar(ZA)$$

Stelle nach $$k$$ um:

$$k=bar(A’B’)/bar(AB)$$

und

$$k=bar(ZA’)/bar(ZA)$$

Da beides $$=k$$ ist, setze gleich:

$$bar(A’B’)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(ZA)$$

Durch Formelumstellung kommst du zu der Ausgangsdarstellung. Rechne mit der Regieanweisung: $$|*bar(ZA)$$ und $$|:bar(A’B’)$$. So erhältst du:

$$bar(ZA)/bar(AB) = bar(ZA’)/bar(A’B’)$$



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