Lineare Ungleichungen lösen

Was ist eine Ungleichung?

Eine Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch eines der Zeichen $$lt$$; $$gt$$; $$le$$ oder $$ge$$ verbunden sind.

Beispiele:

$$x+2 gt - 8$$
$$x + 10 lt 20$$
$$- 8x - 22 + 12x le -30$$
$$-3x + 1 + 5x ge -5$$

Wenn du für die Variablen Zahlen einsetzt, erhältst du wahre oder falsche Aussagen.

Beispiel: $$x-2 < 4$$
Einsetzen: $$x=1$$
$$1$$$$-2<4$$

$$-1<4$$   wahre Aussage

Einsetzen: $$x=2$$
$$2$$$$-2<4$$

$$0<4$$   wahre Aussage

Einsetzen: $$x=8$$
$$8$$$$-2<4$$

$$6<4$$   falsche Aussage

Du siehst: Eine Ungleichung kann mehrere Lösungen haben.

So wie Gleichungen löst du auch Ungleichungen

  1. durch Probieren
  2. durch Umformen

Es gibt diese Vergleichszeichen:

$$lt$$ Kleinerzeichen
$$x<2$$$$:$$ x ist kleiner als 2

$$gt$$ Größerzeichen
$$x>2$$$$:$$ x ist größer als 2

$$le$$ Kleinergleichzeichen
$$xle2$$$$:$$ x ist kleiner als oder gleich 2
$$x$$ ist höchstens 2

$$ge$$ Größergleichzeichen
$$xge2$$$$:$$ x ist größer als oder gleich 2
$$x$$ ist mindestens 2

Lösen einer Ungleichung durch Probieren

Aufgabe:
Welche natürlichen Zahlen erfüllen die Ungleichung $$ 5 gt 7x-8 $$ ?

1. Schritt: Einsetzen der Probierwerte

Setze Probierwerte ein und prüfe, ob eine wahre Aussage entsteht. Dabei hilft eine Tabelle:

Beispiel:

$$ x$$ $$ 7x-8$$ $$ 5 gt7x-8$$ Aussage ist
$$0 $$ $$-8$$ $$ 5 gt -8$$ wahr
$$ 1 $$ $$-1$$ $$5 gt -1$$ wahr
$$ 2 $$ $$6 $$ $$5 gt 6$$ falsch
$$3$$ $$13 $$ $$5 gt 13$$ falsch
$$4 $$ $$20$$ $$5 gt 20$$ falsch
$$… $$ $$…$$ $$ …$$ $$ …$$


2. Schritt: Bestimmen der Lösungsmenge L

Alle Zahlen, die beim Einsetzen zu einer wahren Aussage führen, sind eine Lösung der Ungleichung. Eine Ungleichung kann deshalb mehrere Lösungen haben.

Im Beispiel waren das die Zahlen 0 und 1.
Diese Zahlen bilden die Lösungsmenge

$$ L = {0; 1}$$

Zur Erinnerung

Natürliche Zahlen:
$$NN={0, 1, 2, 3, 4, 5, …}$$

Ganze Zahlen:
$$ZZ$$={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Rationale Zahlen:
$$QQ$$={ganze Zahlen und Brüche}


Das Einsetzen aller noch größeren natürlichen Zahlen führt in diesem Beispiel ebenfalls zu falschen Aussagen, da die rechte Seite der Ungleichung anwächst während die linke Seite gleich bleibt.





Alle Lösungen einer Ungleichung werden in der Lösungsmenge L zusammengefasst.

Lösen einer Ungleichung durch Umformen

Wie du Ungleichungen durch Probieren löst, weißt du jetzt.
Am sichersten ist es immer, die gesamte Lösungsmenge rechnerisch zu bestimmen:

Du isolierst die Variable auf einer Seite der Ungleichung mit den Umformungsregeln, die du vom Lösen von Gleichungen kennst.

Additions- und Subtraktionsregel

Du darfst auf beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren, ohne dass sich die Lösungsmenge verändert.

Beispiel:

$$x - 4 lt 19$$    $$|+4$$

$$x - 4 + 4 lt 19 + 4$$

$$x lt 23$$

Das sind alle Zahlen kleiner als 23. Die kannst du nicht mehr einzeln in die Lösungsmenge schreiben. Dann schreibst du: $$L={x in QQ   |  xlt23}$$
sprich: Menge aller x aus $$QQ$$, für die gilt: x kleiner als 23

Multiplikations- und Divisionsregel

Du darfst beide Seiten einer Ungleichung mit derselben positiven Zahl multiplizieren (durch dieselbe positive Zahl dividieren), ohne dass sich die Lösungsmenge verändert.

Beispiel:

$$3x gt 48   |:$$$$3$$

$$3x :3 gt 48 :3$$

$$ 1*x gt 16$$

$$ x gt 16$$

$$L={x in QQ   |   xgt16}$$








Diese Regeln sind die Äquvalenzumformungen.
äquivalent (lat): gleichwertig






Je nach Aufgabe können Zahlen aus $$QQ$$ oder $$ZZ$$ zur Lösungsmenge gehören. Dann schreibst du $$L={x in QQ …}$$ oder $$L={x in ZZ …}$$.

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Achtung bei $$*$$ und $$:$$ beim Umformen

Neu!

Multiplizierst (Dividierst) du beide Seiten einer Ungleichung mit derselben negativen Zahl (durch dieselbe negative Zahl), musst du das Vergleichszeichen umdrehen, damit sich die Lösungsmenge nicht verändert.

Beispiel:

$$-4x lt 28$$   $$|$$ $$:$$$$(-4)$$

$$-4x : (-4)$$ $$gt$$ $$28 : (-4)$$   $$rarr$$ Achtung! Vergleichszeichen umdrehen!

$$1 *x gt - 7$$

$$x gt - 7$$

$$L={x in QQ   |   xgt-7}$$

Vergiss nicht, das Vergleichszeichen umzudrehen, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst.

Noch ein Beispiel

Aufgabe:
Löse die Ungleichung $$-14x + 16 lt 72$$.

$$-14x + 16 lt 72   | -16$$

$$-14x + 16 - 16 lt 72 - 16$$

$$-14x lt 56   |$$ $$:$$ $$(-14)$$

$$-14x : (-14)$$ $$gt$$ $$56 : (-14)$$
$$rarr$$ Achtung! Vergleichszeichen umdrehen!

$$1⋅ x> -4$$

$$x> -4$$

$$L = {x in QQ$$ $$|$$ $$x > - 4 }$$

Lösen durch Umformen

  1. Variable isolieren mithilfe der Umformungsregeln
  2. Lösungsmenge bestimmen

Ein Beispiel für quadratische Ungleichungen

Aufgabe:
Welche natürlichen Zahlen erfüllen die Ungleichung $$x^2 gt 7x-8$$ ?

1. Schritt: Einsetzen der Probierwerte

$$x$$ $$x^2$$ $$ 7x-8$$ $$x^2gt7x-8$$ Aussage?
$$0$$ $$ 0$$ $$-8$$ $$0 gt -8$$ wahr
$$ 1$$ $$1$$ $$-1$$ $$1gt -1$$ wahr
$$2$$ $$4$$ $$6$$ $$4gt 6$$ falsch
$$3$$ $$9$$ $$13$$ $$9gt 13 $$ falsch
$$4$$ $$16$$ $$20$$ $$16 gt 20$$ falsch
$$5$$ $$25$$ $$27$$ $$25gt 27$$ falsch
$$6$$ $$36$$ $$34$$ $$36 gt 34$$ wahr
$$7$$ $$49$$ $$41$$ $$49 gt 41$$ wahr


Das Einsetzen aller noch größeren natürlichen Zahlen führt in diesem Beispiel ebenfalls zu wahren Aussagen, da die linke Seite der Ungleichung schneller anwächst als der Term auf der rechten Seite.


2. Schritt: Bestimmen der Lösungsmenge

Für das Einsetzen der Zahlen 0,1,6,7 und aller natürlichen Zahlen größer als 7 ergibt sich eine wahre Aussage.

  $$L = {0; 1; 6; 7;8; …}$$

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