Definitionsbereich und Wertebereich von Funktionen bestimmen

Definitionsbereich von Termen

Der Definitionsbereich $$D$$ eines Terms gibt an, welche Zahlen du für die Variablen einsetzen darfst.

In den meisten Fällen kannst du alle Zahlen aus $$ℚ$$ einsetzen. Das sind alle Zahlen die du bis jetzt kennst. Also positive und negative Brüche. Es gibt aber auch Fälle, in denen du den Definitionsbereich einschränken musst.

Beispiel 1:

Bei dem Term $$2+y$$ kannst du alle möglichen Zahlen, also alle rationalen Zahlen, einsetzen.

Mathematiker schreiben diese Aussage so auf: $$D=ℚ$$

Dies sprichst du so aus: Der Definitionsbereich besteht aus allen rationalen Zahlen.

Beispiel 2:

Bei dem Term $$30/x$$ steht x im Nenner. Du kennst bereits die Regel, dass man durch 0 nicht teilen darf. Deshalb darfst du für x alle Zahlen aus $$ℚ$$ einsetzen, außer 0.

Mathematiker schreiben diese Aussage so auf: $$D=ℚ$$ \ $${0}$$.

Die geschweiften Klammern werden dazu benutzt, um eine Menge von Zahlen anzugeben. Hier besteht die Menge nur aus der Zahl 0.

Eine andere Schreibweise ist: $$D={x \in ℚ| x \ne 0}$$.

Das spricht man so aus: Der Definitionsbereich besteht aus allen x aus den rationalen Zahlen für die gilt, dass x ungleich 0 ist.

Der Definitionsbereich ist die Menge aller möglichen Ausgangsgrößen.



Manchmal wird der Definitionsbereich auch als Definitionsmenge bezeichnet.

Definitionsbereich von Termen

Beispiel 3:

Bei dem Term $$2/(v-2)$$ steht $$v-2$$ im Nenner. Du kennst bereits die Regel, dass man durch 0 nicht teilen darf.

Deshalb untersuchst du, wann der Term $$v-2$$ Null wird: $$v-2=0   | +2$$

$$v=2$$

Das heißt, der Term $$v-2$$ wird für $$v=2$$ Null.

Deshalb darfst du für x alle Zahlen aus $$ℚ$$ einsetzen, außer 2.

Mathematiker schreiben diese Aussage so auf:

$$D=ℚ$$ \ $${2}$$ oder $$D={v \in ℚ| v \ne 2}$$.

Die Division durch Null ist nicht erlaubt. Steht eine Variable im Nenner, schränkst du den Definitionsbereich ein. Dazu überprüfst du, wann der Nenner 0 wird.







Später lernst du noch weitere Fälle kennen, bei denen du den Definitionsbereich einschränken musst.

Wertebereich von Termen

Der Wertebereich $$W$$ eines Terms gibt an, welche Zahlen du als Ergebnis erhalten kannst, wenn du verschiedene Werte für x einsetzt.

In den meisten Fällen erhältst du alle Zahlen aus $$ℚ$$ als Ergebnis. Es gibt aber auch Fälle, in denen du den Wertebereich einschränken musst.

Beispiel 1:

Für die Variable a kannst du in den Term $$3-a$$ jeden Wert aus $$ℚ$$ einsetzen. Der Definitionsbereich ist also ganz $$ℚ$$.

Du bekommst als Ergebnis alle Zahlen aus $$ℚ$$ heraus.

Mathematiker schreiben dies so auf:

$$W= ℚ$$.

Dies sprichst du so aus: Der Wertebereich sind die rationalen Zahlen.

Beispiel 2:

Der Term $$x^2$$ ist ein quadratischer Term. Du kannst für x jeden Wert aus $$ℚ$$ einsetzen und bekommst immer eine positive Zahl heraus. Setzt du zum Beispiel $$2$$ oder$$-2$$ ein, erhältst du für beide Zahlen als Ergebnis 2.

$$2^2=2$$

$$(-2)^2=2$$

Mathematiker schreiben dies so auf:

$$W={x \in ℚ| x ≥ 0}$$.

Das sprichst du so aus: Der Wertebereich besteht aus allen x aus den rationalen Zahlen für die gilt, dass x größer oder gleich 0 ist.

Bei quadratischen Termen ist der Wertebereich immer positiv.

Der Wertebereich ist die Menge aller möglichen Ergebnisse.


Manchmal wird der Wertebereich auch als Wertemenge bezeichnet.

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Der Definitions- und Wertebereich von Funktionen

Den Definitionsbereich und den Wertebereich von Funktionen bestimmst du genauso wie den von Termen.

Beispiel 1:

Bestimme den Definitions- und Wertebereich der Funktion $$f(x)=2x$$.

Definitionsbereich und Wertebereich von Funktionen bestimmen

Definitionsbereich:

Die Variable x steht nicht im Nenner, also ist der Definitionsbereich ganz $$ℚ$$.

$$D=ℚ$$

Wertebereich:

Du siehst am Graphen, dass dieser alle y-Werte annimmt. Das heißt, du erhältst als Ergebnis alle Zahlen aus $$ℚ$$. Der Wertebereich ist also ganz $$ℚ$$.

$$W=ℚ$$










Beachte: Der Graph geht links und rechts noch weiter.

Der Definitions- und Wertebereich von Funktionen

Beispiel 2:

Bestimme den Definitions- und Wertebereich der Funktion $$f(x)=3x^2$$.

Definitionsbereich und Wertebereich von Funktionen bestimmen

Die Variable x steht nicht im Nenner, also ist der Definitionsbereich ganz $$ℚ$$.

$$D=ℚ$$

Wertebereich:

Du siehst am Graphen, dass dieser nicht alle y-Werte annehmen kann. Die negativen rationalen Zahlen werden nicht als Funktionswerte angenommen. Das heißt, du erhältst als Ergebnis nur positive Zahlen aus $$ℚ$$.

$$W={y \in ℚ| y ≥ 0}$$









Beachte: Der Graph geht nach oben noch weiter.



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