Das Distributivgesetz

Noch ein Gesetz

Du kennst schon 2 Rechengesetze:

  • Vertauschungsgesetz für Addition und Multiplikation
    ($$3+5=5+3$$ und $$4*6 = 6*4$$)
  • Verbindungsgesetz für Addition und Multiplikation (Klammern setzen ändert das Ergebnis nicht.)
    $$(3+5)+8=3+(5+8)$$ und $$(2*3)*5=2*(3*5)$$

Jetzt gibt es noch ein Gesetz, das mehrere Rechenoperationen umfasst: das Distributivgesetz.

Eigentlich kennst du es schon, denn du benutzt es beim Multiplizieren und Dividieren im Kopf. Bloß wusstest du nicht, dass sich dahinter das Distributivgesetz verbirgt.

Das Distributivgesetz

Untersuche, was passiert, wenn du eine Zahl mit einer Summe multiplizierst und wenn du die Zahl mit den einzelnen Summanden multiplizierst.

Das verstehst du besser mit…

Beispiel:

$$5*(10+8) =5*18=90$$
und
$$5*10+5*8=50+40=90$$

Also hat $$5*(10+8)$$ das gleiche Ergebnis wie $$5*10+5*8$$.

Das gilt auch für die Subtraktion:
$$5*(10-8) = 5*2 = 10$$
$$5*10-5*8 = 50-40 =10$$
Also $$5*(10-8)= 5*10-5*8$$

Das Distributivgesetz besagt:
Wenn du eine Zahl mit einer Summe multiplizierst und wenn du diese Zahl mit den einzelnen Summanden multiplizierst, kommt das gleiche Ergebnis heraus.
$$6 * ( 12 + 9 ) = 6 * 12 + 6 * 9$$

Das gilt entsprechend für die Subtraktion:
$$6 * ( 12 - 9 ) = 6 * 12 - 6 * 9$$

Und du kannst die Faktoren vertauschen:
$$( 12 + 9 )*6 = 12*6 + 9*6$$
$$( 12 - 9 )*6 = 12*6 - 9*6$$

Oder allgemein:
$$a * ( b + c ) = a * b + a * c$$
und
$$a * ( b - c ) = a * b - a * c$$

Für $$a$$, $$b$$ und $$c$$ kannst du beliebige Zahlen einsetzen.

Im Kopf multiplizieren

Und was soll das jetzt mit Kopfrechnen zu tun haben??

Beispiel 1:   $$24*8$$
Rechnest du ja so:

$$20*8= 160$$
$$4*8=32$$
$$160+32=192$$

Mathematisch in einer Rechnung:
$$24*8 = 20*8+4*8=160+32=192$$

Und ganz richtig heißt die Rechnung so:
$$24*8 =$$ $$(20+4)*8 = 20*8+4*8$$ $$=160+32=192$$

Und da ist also die Stelle, in der du das Distributivgesetz anwendest.

Beispiel 2:   $$6*39$$

Im Kopf rechnest du dafür:

$$6*39$$

$$= 6*(40-1)$$

$$=6*40-6*1$$

$$=240-6$$

$$=234$$

Im Kopf überlegst du dir gar nicht die einzelnen Schritte so, wie sie hier aufgeschrieben sind. Du machst das ganz automatisch im Kopf und rechnest auch in Zukunft so weiter. Aber jetzt weißt du, dass hinter deiner Kopfrechentechnik das Distributivgesetz steckt.

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Bei manchen Aufgaben ist es besser, du setzt Klammern. Das sind Aufgaben, bei denen sich die Zahlen in den Klammern zu einem vollen Zehner, Hunderter oder Tausender addieren (subtrahieren) lassen.

Beispiel:   $$65*13+13*35$$

Mit Distributivgesetz:

$$65*13+13*35$$

$$=65*13+35*13$$   (Vertauschungsgesetz)

$$= (65+35)*13$$

$$=100*13$$

$$=1300$$

Und die Division?

Untersuche, ob das Distributivgesetz für die Division gilt.

Beispiel:

$$(36+54):9 = 90:9=10$$
und
$$36:9 + 54:9=4+6=10$$

Also hat $$(36+54):9$$ das gleiche Ergebnis wie $$36:9 + 54:9$$.

Das gilt auch für die Subtraktion:

$$(160-72):8 =88:8=11$$
$$160:8 - 72:8 = 20 - 9 = 11$$

Das Distributivgesetz für die Division besagt:
Wenn du eine Summe durch eine Zahl dividierst und wenn du die einzelnen Summanden durch diese Zahl dividierst, kommt das gleiche Ergebnis heraus.
$$(36+54):9=36:9 + 54:9$$

Das gilt entsprechend für die Subtraktion:
$$(160-72):8 = 160:8 - 72:8$$

Oder allgemein:
$$( a + b ):c = a :c + b:c$$
und
$$( a - b ):c = a :c - b: c$$,   $$a ge b$$

Für $$a$$, $$b$$ und $$c$$ kannst du beliebige Zahlen einsetzen. $$c$$ darf nicht $$0$$ sein ($$c != 0$$).





Aber die Division ist nicht kommutativ! Wenn du das Distributivgesetz für $$(36+54):9$$ aufschreibst, kannst du nicht automatisch das Distributivgesetz für $$9: (36+54)$$ aufschreiben. Du siehst schon, $$9: (36+54)$$ kannst du (noch) gar nicht berechnen.

Im Kopf dividieren

Hier kommen noch 2 Beispiele.

Beispiel 1:   $$114:6$$

Im Kopf rechnest du:

$$114:6$$

$$=(60+54):6$$

$$=60:6+54:6$$

$$=10+9$$

$$=19$$

Beispiel 2:   $$136:8$$

Im Kopf rechnest du:

$$136:8$$

$$=(160-24):8$$

$$=160:8-24:8$$

$$=20-3$$

$$=17$$

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Guck auch bei Divisionsaufgaben, ob die Aufgabe durch die Klammern einfacher wird.

Beispiel:   $$112:14+28:14$$

Mit Distributivgesetz:

$$(112+28):14$$

$$=140:14$$

$$=10$$



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