Zinseszinsen berechnen

Geld vermehrt sich

Kevin bekommt von seinen Großeltern einen Geldbetrag in Höhe von 4000 € übergeben und will es für 5 Jahre anlegen. Er vergleicht 2 Angebote.

Zinseszinsen berechnen

Bei welchem Angebot hat Kevin am Ende mehr Guthaben?

Angebot der Megabank:

Du rechnest $$Z=K*p/100$$ und das 5-mal, also $$Z=5*4000\ € *2,5/100 = 500\ €$$.
Nach 5 Jahren hätte er den Gesamtbetrag $$K+Z=4500\ €$$.

Angebot der Superbank:

Du berechnest die Zinsen für die einzelnen Jahre. Runde dabei auf 2 Nachkommastellen.

Nach dem 1. Jahr:
Kapital $$K=4000\ €$$
Zinsen $$Z=4000\ € * 2,45/100=98\ €$$
Kontostand: Kapital $$K_1 = 4000\ € + 98\ € = 4098\ €$$

Nach dem 2. Jahr:
Neues Kapital $$K=4098\ €$$
Zinsen $$Z=4098\ € * 2,45/100 = 100,40\ €$$
Kapital $$K_2=4098\ € + 100,40\ € = 4198,40\ €$$

Nach dem 3. Jahr:
Neues Kapital $$K=4198,40\ €$$
Zinsen $$Z=4198,40\ € * 2,45/100 = 102,86\ €$$
Kapital $$K_3=4198,40\ € + 102,86\ € = 4301,26\ €$$

Nach dem 4. Jahr:
Neues Kapital $$K=4301,26\ €$$
Zinsen $$Z=4301,26\ € * 2,45/100 = 105,38\ €$$
Kapital $$K_4=4301,26\ € + 105,38\ € = 4406,64\ €$$

Nach dem 5. Jahr:
Neues Kapital $$K=4406,64\ €$$
Zinsen $$Z=4406,64\ € * 2,45/100 = 107,96\ €$$
Kapital $$K_5=4406,64\ € + 107,96\ € = 4514,60\ €$$

Nach 5 Jahren erhält Kevin 4514,60 €.

Beim Angebot der Superbank ist der Zinssatz zwar niedriger, aber dafür werden die Zinsen in den folgenden Jahren mitverzinst. So hat Kevin beim 2. Angebot am Ende mehr Guthaben.

Zinsen, die du auf dem Konto lässt, werden im folgenden Jahr mit dem Kapital zusammen verzinst. Diese Zinsen heißen Zinseszinsen.

Faktoren und Formel

Die Rechnung war dir viel zu umständlich? So geht’s schneller:

Nach dem 2. Jahr:

$$K_2=4098\ € + 4098\ € * 2,45/100$$   $$|$$ $$4098$$ ausklammern

$$=4098\ €(1+2,45/100)$$

$$=4098\ € *$$ $$1,0245$$

$$=4198,40\ €$$

Diesen Zinsfaktor 1,0245 nimmst du für jeden Schritt:

Zinseszinsen berechnen

Und noch kürzer:

Zinseszinsen berechnen

Die ganze umständliche Rechnung kannst du in eine kleine Formel packen:

$$K_5=4000\ € * 1,0245^5$$

$$=4514,61\ €$$

Nach 5 Jahren hat Kevin 4514,61 € auf dem Konto.

Und für sein Guthaben nach 5 Jahren mit Zinseszinsen merkt er sich diese Formel:

$$\text(Kapital)_(\text(nach 5 Jahren)) = \text(Startkapital)*\text(Zinsfaktor)^5$$

So berechnest du das Kapital mit Zinseszinsen nach $$n$$ Jahren:

$$\text(Kapital)_(\ n) = \text(Startkapital)*\text(Zinsfaktor)^n$$

Ganz mathematisch: $$K_n=K*q^n$$ mit Zinsfaktor $$q$$.

Wenn Banken Zinsen fordern

Frau Mayer hat bei ihrer Bank ein Konto, das sie bis zu 1000 € überziehen kann. Würde sie mehr Schulden machen, wird das Konto gesperrt.

Obwohl Frau Mayer eine 0 auf dem Konto hat, kauft sie sich ein neues Handy im Wert von 500 € und überzieht so ihr Konto. Die Bank berechnet dafür einen Zinssatz von p = 12,4 % jährlich. Frau Mayer begleicht auch die jährlichen Überziehungszinsen nicht und so steigt der Überziehungskredit von Jahr zu Jahr an. Von den nicht bezahlten Zinsen werden auch Zinsen berechnet.

Wann sperrt die Bank das Konto?

Der Zinsfaktor ist 1,124. Berechne das Guthaben nach jedem Jahr:

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Oder noch schneller ohne Zwischenschritte:

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Da die Zinsen auch verzinst werden, hat sich der Schuldenbetrag bereits nach fast 6 Jahren verdoppelt und die Bank sperrt kurz vor dem Ablauf des 6ten Jahres das Konto.

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Wenn sich Geld vermehrt und dabei die Zinsen sich verändern

Jans Großeltern haben für ihren Enkel einen Sparvertrag „Wachstumssparen“ abgeschlossen und 800 € eingezahlt. Beim Wachstumssparen steigen die Zinsen pro Jahr an und bereits erhaltene Zinsen werden im Folgejahr mitverzinst.

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Bilde die Zinsfaktoren und berechne das Guthaben nach jedem Jahr:

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Oder noch schneller ohne Zwischenschritte:

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