Lineare Gleichungen lösen 1

Das Waage-Modell

So löst du lineare Gleichungen mit dem Waagemodell:

Gleichungen mit dem Waage-Modell lösen

Bei einer Gleichung hast du immer die eckigen Gewichtsstücke und die Kugeln. Statt „eckiges Gewichtsstück“ kannst du auch $$x$$-Box sagen. Von den $$x$$-Boxen kennst du das Gewicht noch nicht.

Die Boxen und Kugeln werden entsprechend einer Gleichung auf zwei Waagschalen verteilt.
Die Waage soll immer im Gleichgewicht bleiben.

Ziel: Wie schwer ist eine $$x$$-Box?

Beispiel: $$2*x+5=11$$

1. Fülle die Waage entsprechend der Gleichung.

$$2*x+5=11$$

Lineare Gleichungen lösen 1

2. Nimm aus beiden Waagschalen fünf Kugeln weg.

Die Waage bleibe im Gleichgewicht.

$$2*x=6$$

Lineare Gleichungen lösen 1

3. Da du wissen willst, wie schwer eine Box ist, nimmst du auf jeder Seite den zweiten Teil (geteilt durch 2).

$$x=3$$ ist die Lösung der Gleichung.

$$L={3}$$ ist die Lösungsmenge.

Lineare Gleichungen lösen 1

Probe

Wenn du wissen willst, ob eine Box tatsächlich 3 kg wiegt, kannst du 3 kg für jede Box einsetzen.

Lineare Gleichungen lösen 1

Lineare Gleichungen lösen 1

$$x$$-Boxen sind alle gleich schwer

Lineare Gleichungen lösen 1

1 - kg - Kugeln

Gleichungen durch Äquivalenzumformung lösen

Irgendwann brauchst du das Waage-Modell gar nicht mehr und rechnest einfach so:

$$2*x+5=11$$   $$|-5$$
Du rechnest zuerst auf beiden Seiten der Gleichung $$-$$ $$5$$.

$$2*x+5-5=11-5$$

$$2*x=6$$   $$|:2$$

$$2:2*x=6:2$$

$$x=3$$

$$L={3}$$

In der Kurzfassung lässt du die blauen Schritte weg.

Probe:

Setze $$3$$ für $$x$$ ein. Steht auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe?

$$2$$ $$*$$ $$3$$ $$+$$ $$5=11$$

$$11=11$$   Ja!

Du formst eine Gleichung um, indem du auf beiden Seiten

  • dieselbe Zahl addierst oder subtrahierst
  • mit derselben Zahl multiplizierst oder dividierst (die 0 ist dabei ausgenommen)

Denke immer daran, dass du auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe rechnest.

Das sind Äquivalenzumformungen, sie ändern nichts an der Lösung der Gleichung.

Der Strich $$|$$ ist wie die Regieanweisung: „Tu auf beiden Seiten dasselbe!“ zu verstehen. Die Lösung der Gleichung wird dann nicht verändert.

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Schwierigere Gleichungen

Manche Gleichungen haben fiese Minuszeichen. Diese Gleichungen löst du so:

$$-3*x–7=20$$   $$|+7$$

$$-3*x–7+7=20+7$$

$$-3*x=27$$   $$|:(-3)$$

$$-3:3*x=27:(-3)$$

$$x=-9$$

$$L={-9}$$

Mit etwas Übung kannst du die blauen Schritte weglassen.


Die Probe führst du hier rechnerisch durch. Setze $$(-9)$$ für $$x$$ ein.
Steht auf beiden Seiten der Gleichung wirklich dasselbe?

$$-3$$ $$*$$ $$(-9)$$ $$-7=20$$

$$27-7=20$$

$$20=20$$   JA!

Kennst du schon das Zahlenstrahl-Modell?

Bei dem Zahlenstrahl-Modell trägst du die Gleichung wie im Bild ein.

Beispiel: $$2*x+5=11$$

Lineare Gleichungen lösen 1

  • $$11$$ ist der Ausgangswert deiner Gleichung.
  • Wenn du $$-$$ $$5$$ rechnest, wandert die Gleichung um $$5$$ Schritte nach links.
  • Wenn du durch $$2$$ teilst, hast du $$x$$ allein stehen.


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