Ereignis und Gegenereignis

Ergebnisse und Ereignisse

Ereignis und Gegenereignis

Allgemein gilt:

Zufallsexperiment: Ausgang nicht vorhersagbar
Ergebnis: Ausgang eines Zufallsexperiments
Ergebnismenge: Menge aller Ergebnisse $$Omega$$.
$$|Omega|$$: Anzahl der Ergebnisse in $$Omega$$

Ereignis: Teilmenge der Ergebnismenge
Ereignisse werden mit Worten oder in Mengenschreibweise gebildet.


Besondere Ereignisse

Besondere Ereignisse sind das sichere Ereignis $$Omega$$ und das unmögliche Ereignis $${ }$$.

sicheres Ereignis:
ein Ereignis, das bei jedem Ergebnis eintritt
Beispiel: $$Omega$$: „Augenzahl < 7“

unmögliches Ereignis:
ein Ereignis, das bei keinem Ergebnis eintritt.
Beispiel: $${ }$$: „Augenzahl > 7“


Ein Beispiel:

Zufallsexperiment: Würfelwurf
Ergebnisse: Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6
Ergebnismenge: $$Omega = {$$1, 2, 3, 4, 5, 6$$}$$
Hier gilt: $$|Omega|$$ = 6

Ereignis:
E: „ungerade Zahl“
E = $${$$1, 3, 5$$}$$
Mathematiker schreiben für die Teilmenge auch E $$ sub Omega$$ (gelesen: E ist eine Teilmenge von $$Omega$$)

Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E wird durch p(E) beschrieben.
Sind bei einem Zufallsexperiment alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, so liegt ein Laplace-Experiment vor.

Für die besonderen Ereignisse sicheres Ereignis $$Omega$$ und
unmögliches Ereignis $${$$ $$}$$ gilt: p($$Omega$$) = 1 bzw. p($${$$ $$}$$) = 0.


Ereignis und Gegenereignis

Beispiel: Aus den vier Karten soll eine Karte gezogen werden.
Gib die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse an:

A: „Karte mit Kreuz 7“ - p(A) = $$1/4$$ = 0,25 = 25 %

B: „Karte mit Zahl“ - p(B) = $$4/4$$ = 1 = 100 %

C: „Karte mit Bild“ - p(C) = $$0/4$$ = 0 = 0%

Laplace-Wahrscheinlichkeit

$$ p(E) = \frac {\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}} {\text {Anzahl möglicher Ergebnisse}} $$


Ereignis und Gegenereignis

Ereignis und Gegenereignis

Es gibt Zufallsexperimente, bei denen nur interessiert, ob ein Ereignis $$E$$ eintritt oder nicht. Wenn $$E$$ nicht eintritt, so tritt das Gegenereignis $$bar E$$ ein.

In der Abbildung siehst du die Mengendarstellung.
Es gilt: $$bar E$$ ist die Fläche $$Omega$$ ohne die Fläche E.

Beispiele:
Losverkauf: $$E$$ = {Gewinn}, $$bar E$$ = {Niete}
Würfelwurf: $$E$$ = {6}, $$bar E$$ = {1, 2, 3, 4, 5}

Regel: Es gilt $$p(E) + p(bar E) = 1$$

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Mehrstufige Zufallsexperimente

Ereignis und Gegenereignis

Urnenexperiment:
Aus der Urne wird dreimal hintereinander eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.
Das ist das Baumdiagramm dazu:
Ereignis und Gegenereignis

An den Pfaden stehen die Wahrscheinlichkeiten.

Beispiel:
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E: „dreimal gleiche Farbe“.

Für das Eintreten von E sind die Pfade RRR und GGG günstig.

Multiplikationsregel:
p(RRR) $$=8/9*8/9*8/9=512/729$$

p(GGG) $$=1/9*1/9*1/9=1/729$$

Additionsregel:
p(3mal gleiche Farbe) $$=512/729+1/729=513/729$$

Antwort: Das Ereignis „dreimal gleiche Farbe“ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von $$513/729 approx 0,70 = 70$$ $$%$$ ein.

Multiplikationsregel: Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades multiplizierst.

Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse addierst.

Kartenspiele

Ereignis und Gegenereignis

Beispiel 1
Berechne die Wahrscheinlichkeit, aus einem
Skatspiel einen Buben zu ziehen:
Ereignis E:„Karte ist ein Bube“.

Lösung:
Ein Skatspiel hat 32 Karten. Damit gibt es 32 mögliche Ergebnisse, und es gibt vier günstige Ergebnisse für das Eintreten von E: Kreuzbube, Pikbube, Herzbube und Karobube.
Damit rechnest du: $$p(E) = 4/32 = 1/8 = 0,125 = 12,5 %$$.

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von E beträgt 12,5 %.

Beispiel 2
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, aus einem Skatspiel eine Karo-, Herz- oder Pikkarte zu ziehen:
Ereignis E:„Karte ist Karo, Herz oder Pik“.

Lösung:
Die Rechnung kannst du auch mit dem Gegenereignis durchführen:
$$bar E$$: „Karte ist Kreuz“ - es gibt dafür 8 günstige und 32 mögliche Ergebnisse.

Du rechnest: $$p(E) = 1 - p(bar E) = 1 - 8/32 = 3/4$$

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von E beträgt 75 %.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

$$ p(E) = \frac {\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}} {\text {Anzahl möglicher Ergebnisse}} $$

Umfragen

Ereignis und Gegenereignis

Beispiel 1:
Eine Umfrage unter den 800 Schülern einer Schule hat ergeben, dass 300 Schüler mit dem Fahrrad zur Schule fahren, 400 mit dem Bus kommen und 100 Schüler zu Fuß kommen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler mit dem Bus kommt?

Lösung:
Das Ereignis ist E: „Schüler kommt mit dem Bus“. Dann rechnest du
$$p(E) = 400/800 = 1/2 = 0,5 = 50%$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler mit dem Bus kommt, ist 50 %.

Beispiel 2:
Es werden 125 Personen befragt, ob sie ein Handy besitzen. 100 Personen bejahen die Frage. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person ein Handy besitzt?

Lösung:
Das Ereignis ist E: „Person besitzt ein Handy“. Du kannst die Lösung auch mit dem Gegenereignis $$bar E$$ = „Person besitzt kein Handy“ erhalten.
Du rechnest: $$p(E) = 1 - p(barE) = 1 - 25/125 = 1 - 0,2 = 0,8=80 %$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person ein Handy besitzt, beträgt 80 %.

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