Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern
Zusammengesetzte Körper: Volumen
Zusammengesetzte und ausgehöhlte Körper kennst du schon aus Klasse 8. Viele Gegenstände sind aus geometrischen Körpern zusammengesetzt.
Beispiel: Diese Turmspitze ist aus einem Zylinder und einem Kegel zusammengesetzt.
Bild:iStockphoto.com (Andrei Nekrassov )
Volumen Körper 1 + Volumen Körper 2 = Volumen Gesamtkörper
Bei zusammengesetzten und ausgehöhlten Körpern bestimmst du zuerst die einzelnen Körper. Dann berechnest du das Volumen der einzelnen Körper und du stellst eine Formel für den Gesamtkörper auf.
Du kannst dir aussuchen, ob du die Körper einzeln oder den Gesamtkörper berechnest.
Jetzt wird gerechnet: Turmspitze
1. Weg
Mathematisch besteht die Turmspitze aus einem Zylinder und einem Kegel.
1. Volumen Zylinder:
$$V_1 = G * h_K$$
$$V_1 = π * r^2 * h_K$$
$$V_1 = π * (1,5\ m)^2 * 2\ m$$
$$V_1 = 14,14\ cm^3$$
2. Volumen Kegel:
$$V_2 = 1/3 G * h_K$$
$$V_2 = 1/3 π * r^2 * h_K$$
$$V_2 = 1/3 π * (1,5\ m)^2 * 3,5\ m$$
$$V_2 = 8,25\ m^3$$
3. Gesamtkörper:
$$V = V_1 + V_2$$
$$V = 14,14\ m^3 + 8,25\ m^3$$
$$V = 22,39\ m^3$$
2. Weg
Du kannst auch alles in eine Gleichung schreiben und die Werte einsetzen:
$$V = V_1 + V_2$$
$$V = G * h_K + 1/3*G * h_K$$
$$V = π * r^2 * h_K + 1/3 π * r^2 * h_K$$
$$V = π * (1,5\ m)^2 * 2\ m + 1/3 π * (1,5\ m)^2 * 3,5\ m$$
$$V = 22,38\ m^3$$
Dieser Wert ist genauer, weil kein Zwischenergebnis gerundet wurde.
Bild:iStockphoto.com (Andrei Nekrassov)
Kreis: $$G = π * r^2$$
Zylinder: $$V = G * h_K$$
Kegel: $$V = 1/3 G * h_K$$
Sternwarte
Es gibt auch zusammengesetzte Körper mit Kugeln oder Halbkugeln wie diese Sternenwarte.
Auch hier kannst du das Volumen berechnen:
1. Weg
Die Sternwarte besteht mathematisch aus einem Zylinder und einer Halbkugel.
1. Zylinder:
$$V_1 = G * h_K$$
$$V_1 = π * r^2 * h_K$$
$$V_1 = π * (2\ m)^2 * 2\ m $$
$$V_1 = 25,13\ m^3$$
2. Halbkugel: $$V_2 = (4/3π * r^3) :2$$
$$V_2 = (4/3π * (2\ m)^3) :2$$
$$V_2 = 16,76\ m^3$$
3. Gesamter Körper: $$V = V_1 + V_2$$
$$V = 25,13\ m^3 + 16,76\ m^3$$
$$V = 41,89\ cm^3$$
2. Weg
Du kannst auch alles in eine Gleichung schreiben und die Werte einsetzen:
$$V = V_1 + V_2$$
$$V = π * r^2 * h_K + (4/3π * r^3) :2$$
$$V = π * (2\ m)^2 * 2\ m + (4/3 π * (2\ m)^3) :2$$
$$V = 41,89\ m^3$$
Bild: stock.adobe.com/Stefan
Das ist die Kuffner-Sternwarte in Wien.
Kreis: $$G = π * r^2$$
Zylinder: $$V = G * h_K$$
Kugel: $$V = 4/3π * r^3$$
Die Oberfläche zusammengesetzter Körper
Die Oberfläche zu berechnen, ist etwas schwieriger.
Der Oberflächeninhalt eines zusammengesetzten Körpers sind alle Flächen, die du berühren kannst.
Deshalb kannst du nicht einfach die Oberflächeninhalte der einzelnen Körper zusammenrechnen. Manche Flächen liegen aneinander. Die darfst du dann nicht mit in den Oberflächeninhalt einrechnen.
Beispiel:
Auf dem Bild kannst du sehen, dass der „Deckel“ des Zylinders und der „Boden“ des Kegels nicht mitgerechnet werden dürfen, weil sie aufeinander stehen.
Für den Zylinder bedeutet das, dass du nur einmal die Kreisfläche und den Mantel berechnest. Beim Kegel brauchst du nur die Mantelfläche.
Bild:iStockphoto.com (Andrei Nekrassov)
Jetzt wird gerechnet
1. Weg
Teile zusammengesetzte Körper in einzelne Körper auf. Berechne die Flächen, die du für die Gesamtoberfläche brauchst.
1. Zylinder: eine Grund- und die Mantelfläche $$O = π * r^2 + 2 * π * r * h_K$$
$$O = π * (1,5\ m)^2 + 2 * π * 1,5\ m * 2\ m$$
$$O = 25,92\ m^2$$
2. Kegel: Mantelfläche
$$O = π * r * sqrt(r^2+h^2)$$
$$O = π * 1,5\ m * sqrt((1,5\ m)^2+(3,5\ m)^2 )$$
$$O = 17,94\ m^2$$
3. Gesamter Körper: $$O = O_(Zyl i nder) + O_(Ke g e l)$$
$$O = 25,92\ m^2 + 17,94\ m^2$$
$$O = 43,86\ m^2$$
Oberfläche zusammengesetzter Körper
2. Weg
Du kannst auch wie beim Volumen alles in eine Gleichung schreiben und die Werte einsetzen:
$$O = O_(Zyli\nder) + O_(Keg\el) $$
$$O = π * r^2 + 2 * π * r * h_K + π * r *sqrt(r^2+h^2 )$$
$$O = π * (1,5\ m)^2 + 2*π *1,5\ m * 2\ m + π * 1,5\ m * sqrt((1,5\ m)^2+(3,5\ m)^2)$$
$$O = 43,86\ m^2$$
Bild:iStockphoto.com (Andrei Nekrassov)
Oberfläche Zylinder:
$$O = 2 * π* r^2 + 2 * π * r * h_K$$
Oberfläche Kegel:
$$O = π * r^2 + π * r * s$$
bzw. wenn nur $$r$$ und $$h_K$$ gegeben sind:
$$O = π * r^2 + π * r * sqrt(r^2+h_K^2)$$
$$O$$ steht hier nicht für die ganze Oberfläche des Zylinders, sondern für die Fläche, die du vom Zylinder für den Gesamtkörper brauchst. Die Bezeichnung kannst du wählen, wie du möchtest. Hauptsache, sie ist verständlich.
