Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

Zusammengesetzte Körper: Volumen

Zusammengesetzte und ausgehöhlte Körper kennst du schon aus Klasse 8. Viele Gegenstände sind aus geometrischen Körpern zusammengesetzt.

Beispiel: Diese Turmspitze ist aus einem Zylinder und einem Kegel zusammengesetzt.

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern
Bild:iStockphoto.com (Andrei Nekrassov ) Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

Volumen Körper 1 + Volumen Körper 2 = Volumen Gesamtkörper

Bei zusammengesetzten und ausgehöhlten Körpern bestimmst du zuerst die einzelnen Körper. Dann berechnest du das Volumen der einzelnen Körper und du stellst eine Formel für den Gesamtkörper auf.


























Du kannst dir aussuchen, ob du die Körper einzeln oder den Gesamtkörper berechnest.

Jetzt wird gerechnet: Turmspitze

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

1. Weg

Mathematisch besteht die Turmspitze aus einem Zylinder und einem Kegel.

1. Volumen Zylinder:

$$V_1 = G * h_K$$

$$V_1 = π * r^2 * h_K$$

$$V_1 = π * (1,5\ m)^2 * 2\ m$$

$$V_1 = 14,14\ cm^3$$

2. Volumen Kegel:

$$V_2 = 1/3 G * h_K$$

$$V_2 = 1/3 π * r^2 * h_K$$

$$V_2 = 1/3 π * (1,5\ m)^2 * 3,5\ m$$

$$V_2 = 8,25\ m^3$$

3. Gesamtkörper:

$$V = V_1 + V_2$$

$$V = 14,14\ m^3 + 8,25\ m^3$$

$$V = 22,39\ m^3$$


2. Weg

Du kannst auch alles in eine Gleichung schreiben und die Werte einsetzen:

$$V = V_1 + V_2$$

$$V = G * h_K + 1/3*G * h_K$$

$$V = π * r^2 * h_K + 1/3 π * r^2 * h_K$$

$$V = π * (1,5\ m)^2 * 2\ m + 1/3 π * (1,5\ m)^2 * 3,5\ m$$

$$V = 22,38\ m^3$$

Dieser Wert ist genauer, weil kein Zwischenergebnis gerundet wurde.

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern Bild:iStockphoto.com (Andrei Nekrassov)







Kreis: $$G = π * r^2$$

Zylinder: $$V = G * h_K$$

Kegel: $$V = 1/3 G * h_K$$

Sternwarte

Es gibt auch zusammengesetzte Körper mit Kugeln oder Halbkugeln wie diese Sternenwarte.

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

Auch hier kannst du das Volumen berechnen:

1. Weg

Die Sternwarte besteht mathematisch aus einem Zylinder und einer Halbkugel.

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

1. Zylinder:

$$V_1 = G * h_K$$

$$V_1 = π * r^2 * h_K$$

$$V_1 = π * (2\ m)^2 * 2\ m $$

$$V_1 = 25,13\ m^3$$

2. Halbkugel: $$V_2 = (4/3π * r^3) :2$$

$$V_2 = (4/3π * (2\ m)^3) :2$$

$$V_2 = 16,76\ m^3$$

3. Gesamter Körper: $$V = V_1 + V_2$$

$$V = 25,13\ m^3 + 16,76\ m^3$$

$$V = 41,89\ cm^3$$

2. Weg

Du kannst auch alles in eine Gleichung schreiben und die Werte einsetzen:

$$V = V_1 + V_2$$

$$V = π * r^2 * h_K + (4/3π * r^3) :2$$

$$V = π * (2\ m)^2 * 2\ m + (4/3 π * (2\ m)^3) :2$$

$$V = 41,89\ m^3$$

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern
Bild: Picture-Alliance GmbH (Hans Ringhofer)
Das ist die Kuffner-Sternwarte in Wien.













Kreis: $$G = π * r^2$$

Zylinder: $$V = G * h_K$$

Kugel: $$V = 4/3π * r^3$$

Nachhilfe in Mathe, Englisch, Deutsch

Noch nicht kapiert?

kapiert.de kann mehr:

  • interaktive Übungen
    und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager

Die Oberfläche zusammengesetzter Körper

Die Oberfläche zu berechnen, ist etwas schwieriger.

Der Oberflächeninhalt eines zusammengesetzten Körpers sind alle Flächen, die du berühren kannst.

Deshalb kannst du nicht einfach die Oberflächeninhalte der einzelnen Körper zusammenrechnen. Manche Flächen liegen aneinander. Die darfst du dann nicht mit in den Oberflächeninhalt einrechnen.

Beispiel:

Auf dem Bild kannst du sehen, dass der „Deckel“ des Zylinders und der „Boden“ des Kegels nicht mitgerechnet werden dürfen, weil sie aufeinander stehen.

Für den Zylinder bedeutet das, dass du nur einmal die Kreisfläche und den Mantel berechnest. Beim Kegel brauchst du nur die Mantelfläche.

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern Bild:iStockphoto.com (Andrei Nekrassov)

Jetzt wird gerechnet

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern

1. Weg

Teile zusammengesetzte Körper in einzelne Körper auf. Berechne die Flächen, die du für die Gesamtoberfläche brauchst.

1. Zylinder: eine Grund- und die Mantelfläche $$O = π * r^2 + 2 * π * r * h_K$$

$$O = π * (1,5\ m)^2 + 2 * π * 1,5\ m * 2\ m$$

$$O = 25,92\ m^2$$

2. Kegel: Mantelfläche

$$O = π * r * sqrt(r^2+h^2)$$

$$O = π * 1,5\ m * sqrt((1,5\ m)^2+(3,5\ m)^2 )$$

$$O = 17,94\ m^2$$

3. Gesamter Körper: $$O = O_(Zyl i nder) + O_(Ke g e l)$$

$$O = 25,92\ m^2 + 17,94\ m^2$$

$$O = 43,86\ m^2$$

Oberfläche zusammengesetzter Körper

2. Weg

Du kannst auch wie beim Volumen alles in eine Gleichung schreiben und die Werte einsetzen:

$$O = O_(Zyli\nder) + O_(Keg\el) $$

$$O = π * r^2 + 2 * π * r * h_K + π * r *sqrt(r^2+h^2 )$$

$$O = π * (1,5\ m)^2 + 2*π *1,5\ m * 2\ m + π * 1,5\ m * sqrt((1,5\ m)^2+(3,5\ m)^2)$$

$$O = 43,86\ m^2$$

Oberfläche und Volumen von zusammengesetzten Körpern Bild:iStockphoto.com (Andrei Nekrassov)







Oberfläche Zylinder:

$$O = 2 * π* r^2 + 2 * π * r * h_K$$

Oberfläche Kegel:

$$O = π * r^2 + π * r * s$$

bzw. wenn nur $$r$$ und $$h_K$$ gegeben sind:

$$O = π * r^2 + π * r * sqrt(r^2+h_K^2)$$

$$O$$ steht hier nicht für die ganze Oberfläche des Zylinders, sondern für die Fläche, die du vom Zylinder für den Gesamtkörper brauchst. Die Bezeichnung kannst du wählen, wie du möchtest. Hauptsache, sie ist verständlich.



Noch nicht kapiert?

Screenshot kapiert.de Mathe Aufgaben EdM

Das Thema macht dir noch Schwierigkeiten?
Teste das Lernportal von kapiert.de!

  • alle Themen aus deinem Schulbuch
  • interaktive Übungen und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Video-Chat mit Tutoren in allen Fächern

Die Testlizenz endet nach 14 Tagen automatisch. Es entstehen keine Kosten.

Ich habe die AGB und Datenschutzhinweise gelesen und stimme ihnen zu.