Anzahlen mit der Produktregel bestimmen

Auf die Plätze…

In der Kombinatorik geht es darum, wie viele Möglichkeiten es gibt, um Gegenstände oder so anzuordnen.

Beispiel 1: Eine bestimmte Anzahl von Elementen vollständig anordnen

Peter möchte seine 3 Modellflugzeuge auf einem Regal anordnen. Er überlegt, wie viele Möglichkeiten es dafür gibt. Peter geht den Ablauf in Gedanken durch.

  1. Für den Platz ganz links auf dem Regal hat er 3 Möglichkeiten: Er kann jedes seiner Modelflugzeuge dort platzieren.

  2. Für den Platz in der Mitte hat er dann nur noch 2 Möglichkeiten: Das erste Modell ist bereits ganz links platziert, es bleiben 2 Modelle übrig.

  3. Für den Platz ganz rechts bleibt nun nur noch 1 Möglichkeit: Es ist noch 1 Modell übrig. Die anderen beiden Modelle stehen bereits auf dem Regal.

Peter erkennt, dass sich die Gesamtzahl der Möglichkeiten durch Multiplizieren ergibt.

Gesamtzahl der Möglichkeiten: $$3*2*1 = 6$$

Eine bestimmte Anzahl von Elementen vollständig anordnen

Wenn 4 unterschiedliche Modelle angeordnet werden sollen, lassen sich die einzelnen Möglichkeiten schon nicht mehr so einfach durchschauen.

Für die neue erste Position gibt es nun 4 unterschiedliche Möglichkeiten: blau oder grün oder rot oder gelb.

Du weißt, dass es für die Anordnung auf den folgenden 3 Stellen insgesamt 6 unterschiedliche Möglichkeiten gibt.

Anzahlen mit der Produktregel bestimmen

Peter erkennt, dass sich die Gesamtzahl der Möglichkeiten durch Multiplizieren ergibt.

Gesamtzahl der Möglichkeiten: $$4*3*2*1 = 4*6 = 24$$

Regel: Vollständiges Ziehen ohne Zurücklegen

Die Gesamtzahl der Möglichkeiten bei $$n$$ Elementen beträgt $$n!$$ (sprich: $$n$$ Fakultät) Für $$n>1$$ ist $$n! = n*(n-1) *(n-2) *…*3*2*1$$

Es gilt: $$1! = 1$$ und $$0! = 1$$

Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten steigt rasch an: $$5! = 120$$, $$6! = 720$$, $$7! = 5040$$

Der Mathematiker schreibt $$n!$$

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Es gilt die Produktregel der Kombinatorik

Nacheinander soll eine bestimmte Anzahl von Entscheidungen (Auswahlen) getroffen werden. Gesamtzahl der Möglichkeiten $$=$$ Anzahl der Möglichkeiten bei der ersten Entscheidung mal Anzahl der Möglichkeiten bei der zweiten Entscheidung mal Anzahl der Möglichkeiten bei der dritten Entscheidung usw. bis zur Anzahl der Möglichkeiten bei der letzten Entscheidung

Auf der 1. Stufe gibt es $$n_1$$ Möglichkeiten, auf der 2. Stufe $$n_2$$ Möglichkeiten usw. Auf der k. Stufe gibt es $$n_k$$ Möglichkeiten.

Gesamtzahl der Möglichkeiten: $$n_1*n_2*…*n_k$$

Beispiel 2: Ziehen ohne Zurücklegen

Luca möchte sich 4 Kugeln Eis kaufen. Es gibt 8 Sorten Eis.

Auch hier kannst du dir eine Reihenfolge der Kugeln denken, z.B. die Reihenfolge, in der der Eisverkäufer die Eiskugeln in den Becher füllt.

Wenn Luca nur unterschiedliche Sorten auswählt, steht bei jedem Schritt immer eine Sorte weniger zur Auswahl.

Allerdings ordnest du hier die 8 Sorten nicht vollständig an: Nach der vierten Kugel ist Schluss.

Bei der ersten Kugel stehen alle acht Sorten zur Auswahl, bei der zweiten die verbleibenden sieben Sorten, bei der dritten die restlichen sechs Sorten, bei der vierten die restlichen fünf Sorten.

Gesamtzahl der Möglichkeiten: $$8*7*6*5$$ Möglichkeiten.

Anzahlen mit der Produktregel bestimmen
Bild: iStockphoto.com (levent songur)

Ein klassisches Beispiel für Ziehen ohne Zurücklegen ist Lotto.

Beispiel 3: Ziehen mit Zurücklegen

Nun soll Luca von einer Sorte auch mehrere Kugeln wählen können. Dann stehen ihm bei jeder Kugel also erneut alle 8 Sorten zur Auswahl.

Gesamtzahl der Möglichkeiten: $$8*8*8*8$$ Möglichkeiten.

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Beispiel 4: Allgemeines Zählprinzip der Kombinatorik

Bei drei Eissorten handelt es sich um Milchspeiseeis. Die restlichen fünf Sorten sind Fruchtspeiseeis. Mia will 2 Kugeln Milchspeiseeis und 3 Kugeln Fruchtspeiseeis kombinieren.

Wieder gilt: Wenn es unterschiedliche Sorten sein sollen, steht bei jeder weiteren Kugel entsprechend eine Sorte weniger zur Verfügung.

Insgesamt ergeben sich hier $$3*2$$ Möglichkeiten, 2 Kugeln Milchspeiseeis zu kombinieren, mal $$5*4*3$$ Möglichkeiten, 3 Kugeln Fruchtspeiseeis zu kombinieren.

Gesamtzahl der Möglichkeiten: $$3*2*5*4*3$$ Möglichkeiten.

Wenn Mia auch mehrere Kugeln von einer Sorte wählen kann, ergeben sich: $$3*3$$ Möglichkeiten, 2 Kugeln Milchspeiseeis zu kombinieren, mal $$5*5*5$$ Möglichkeiten, 3 Kugeln Fruchtspeiseeis zu kombinieren.

Gesamtzahl der Möglichkeiten: $$3*3*5*5*5$$ Möglichkeiten.

Zusammenfassung

Mithilfe der Kombinatorik kannst du bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, um eine bestimmte Anzahl von Objekten unterschiedlich anzuordnen bzw. miteinander zu kombinieren.



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