Gleichungssysteme mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens lösen

Das Gleichsetzungsverfahren

Beispiel:

Ein Handyanbieter hat zwei Tarife im Angebot.

Grundgebühr
in € pro Monat
Preis
in € pro Minute

Tarif 1

5,00

0,20

Tarif 2

10,00

0,10


Ab wann ist welcher Tarif für dich günstiger?


Gleichungssysteme mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens lösen

Vorüberlegungen

Schaust du dir die beiden Tarife genau an, kannst du Folgendes feststellen:

1. Tarif 1 ist günstiger, wenn du wenig telefonierst.

Telefonierst du zum Beispiel nur 10 Minuten pro Monat, dann musst du bei Tarif 1 und 2 so viel bezahlen:

Tarif 1: 5,00 € + 10 $$\cdot$$ 0,20 € = 5,00 € + 2,00 € = 7,00 €.

Tarif 2: 10,00 € + 10 $$\cdot$$ 0,10 € = 10,00 € + 1,00 € = 11,00 €.

Telefonierst du nur 10 Minuten im Monat, dann ist Tarif 1 günstiger.

2. Tarif 2 ist günstiger, wenn du sehr viel telefonierst.

Telefonierst du zum Beispiel 100 Minuten pro Monat, dann musst du bei Tarif 1 und 2 so viel bezahlen:

Tarif 1: 5,00 € + 100 $$\cdot$$ 0,20 € = 5,00 € + 20,00 € = 25,00 €.

Tarif 2: 10,00 € + 100 $$\cdot$$ 0,10 € = 10,00 € + 10,00 € = 20,00 €.

Telefonierst du 100 Minuten im Monat, dann ist Tarif 2 günstiger.


Wenn du die beiden Tarife miteinander vergleichen möchtest, musst du dich mit 2 Gleichungen beschäftigen.

Dabei betrachtest du beide Gleichungen gleichzeitig und systematisch.

Das Lösen von Aufgaben mit zwei Gleichungen heißt daher auch : „Lösen von Linearen Gleichungssystemen (LGS)“

Frage:

Wann sind beide Tarife gleich teuer?

Um diese Frage zu lösen, gibt es verschiedenen Lösungsstrategien. Hier wird dir die erste vorgestellt: das Gleichsetzungsverfahren.

Grundgebühr in € pro Monat Preis in € pro Minute

Tarif 1

5,00

0,20

Tarif 2

10,00

0,10







Lineares Gleichungssystem

  • Ein System aus zwei oder mehr Gleichungen

  • Es muss systematisch gelöst werden


Lösungsstrategien für LGS:

  1. Gleichsetzungsverfahren
  2. Einsetzungsverfahren
  3. Additionsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren

Zuerst stellst du die Gleichungen auf:

Tarif 1: y = 5,00 + 0,20 $$\cdot$$ x

Tarif 2: y = 10,00 + 0,10 $$\cdot$$ x

So löst du das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren:

1. Stelle beide Gleichungen nach einer Variable um.

Hier sind beide Gleichungen bereits nach der Variablen y umgestellt.

y = 5,00 + 0,20 $$\cdot$$ x

y = 10,00 + 0,10 $$\cdot$$ x

2. Setze die Gleichungen gleich.

Da y = y richtig ist, muss auch 5,00 + 0,20 $$\cdot$$ x = 10,00 + 0,10 $$\cdot$$ x richtig sein.

So erhälst du eine neue Gleichung mit nur einer Variablen:

5,00 + 0,20 $$\cdot$$ x = 10,00 + 0,10 $$\cdot$$ x

3. Löse die neue Gleichung nach der Variablen auf.

5,00 + 0,20 $$\cdot$$ x = 10,00 + 0,10 $$\cdot$$ x

5 + 0,20x = 10 + 0,10x     | - 0,10x

5 + 0,20x - 0,10x = 10           | - 5

5 + 0,10x = 10           | - 5

5 - 5 + 0,10x = 10 - 5             

0,10x = 5                 | : 0,10

x = 50

Das Ergebnis bedeutet, dass bei x = 50 beide Gleichungen erfüllt sind. Wenn du also 50 Minuten im Monat telefonierst, sind beide Tarife gleich teuer.

Die Schritte 4-6 findest du auf der nächsten Seite.

Damit du siehst, dass die 2 Gleichungen zusammen gehören, kannst du auch rechts und links Striche setzen:

$$|[ y = 5,00 + 0,20 \cdot x],[y = 10,00 + 0,10 \cdot x]|$$

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Die Schritte 4 - 6

4. Berechne die andere Variable.

Setze x = 50 in eine der beiden Gleichungen ein, um die entsprechende y Variable zu berechnen.

y = 5,00 + 0,20 $$\cdot$$ x

y = 5,00 + 0,20 $$\cdot$$ 50

y = 5,00 + 10

y = 15,00

5. Führe eine Probe durch.

Setze den x- und y-Wert in die beiden Gleichungen ein.

Tarif 1:

y = 5,00 + 0,20 $$\cdot$$ x

15 = 5,00 + 0,20 $$\cdot$$ 50

15 = 5,00 + 10

15 = 15,00

Tarif 2:

y = 10,00 + 0,10 $$\cdot$$ x

15 = 10,00 + 0,10 $$\cdot$$ 50

15 = 10,00 + 5

15 = 15,00

6. Gib die Lösungsmenge an.

Zuerst gibst du den x-Wert an, dann den y-Wert.

L={(50|15)}


Antwort: Wenn du genau 50 Minuten im Monat telefonierst, musst du 15 € bezahlen und beide Tarife sind gleich teuer. Wenn du weniger telefonierst, ist der 1. Tarif günstiger, wenn du mehr telefonierst, der 2. Tarif.

Das Gleichsetzungsverfahren im Überblick

Schrittfolge für das Gleichsetzungsverfahren

  1. Stelle beide Gleichungen nach einer Variablen um.
  2. Setze die Gleichungen gleich.
  3. Löse die neue Gleichung nach einer Variablen auf.
  4. Berechne die andere Variable.
  5. Führe die Probe durch.
  6. Gib die Lösungsmenge an.

Tipp:

Natürlich funktioniert das Gleichsetzungsverfahren nicht nur, wenn du beide Gleichungen nach y umstellst. Wichtig ist, dass beide Gleichungen nach einer gemeinsamen Variablen oder nach einem Term umgestellt werden.

Beispiel 1:

2y + 3 = 4x - 3

2y + 3 = 6x + 2

In diesem Fall ist 2y + 3 = 2y + 3, also muss auch 4x - 3 = 6x + 2 sein.

Beispiel 2:

-9y + 2x = 4

5y = -2x - 4

Dieses Gleichungssystem kannst du nach 2x umstellen:

2x = 4 + 9y

2x = -4 - 5y

Hier gilt 2x = 2x, also auch 4 + 9y = -4 - 5y



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