Argumentieren, Modellieren, Problemlösen

Terme - eine Erinnerung

Ein Term bezeichnet jede sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Terme sind somit Rechenvorschriften in Kurzform.

Terme können vielfältige Formen aufweisen.
Beispiele:
$$3,  x,   y,  a$$  oder $$5 - x,  u + v + w,  frac (y)(27)$$

Keine Terme hingegen sind Zeichenfolgen wie
$$+ - ,  y ( ,  5 -$$

Für den Umgang mit Termen gelten die üblichen Rechenregeln. Du kannst Terme aufstellen, zusammenfassen und vereinfachen.
In vielen Fällen sind Terme nützliche Helfer, um Alltagsprobleme zu lösen, wie zum Beispiel den richtigen Preis von abgewogenen Lebensmitteln mit dem Dreisatz zu ermitteln.

Mischungsrechnen - Einführung

Ein weiteres Beispiel ist das Mischungsrechnen, bei dem gleichartige Mengen, wie z.B. Flüssigkeiten, mit verschiedenen Eigenschaften, wie verschiedenen Preisen, gemischt werden.

Das Ziel ist, die gesuchte Eigenschaft der passenden Mischung zu berechnen. Dazu kannst du Terme aufstellen, die dir beim berechnen helfen. Die unbekannte Größe wird meistens mit $$x$$ bezeichnet.

Beispiele für Mengen und Eigenschaften

  • Die Mengen werden häufig durch ihre Masse m in Kilogramm (kg) bzw. Gramm (g) oder durch ihr Volumen V in Liter (l) bzw. Milliliter (ml) angegeben.
  • Die Eigenschaften sind z.B. Temperaturen in °C, Preise in € pro Mengeneinheit oder Prozente.

Für den Fall, dass eine Eigenschaft in Prozent angegeben ist, kannst du zum einfacheren Rechnen die Prozentangabe als Dezimalzahl schreiben:
$$45 % = 45 * frac(1)(100) =0,45$$ oder $$0,13 % = 0,13 * frac (1)(100) = 0,0013$$.
Im Antwortsatz kannst du dein Ergebnis notieren.

Die Eigenschaften sind z.B. Temperaturen in °C, Preise in € pro Mengeneinheit oder Prozente.
Für den Fall, dass eine Eigenschaft in einer Aufgabenstellung als Prozent angegeben ist, wird für die Weiterarbeit Prozent als Dezimalzahl geschrieben:
$$45 % = 45 * frac(1)(100) =0,45$$ oder $$0,13 % = 0,13 * frac (1)(100) = 0,0013$$.
Im Antwortsatz wird das Ergebnis in der geforderten Form notiert.

Modellierung

Überlege dir zunächst, wie du eine Mischung darstellen kannst.

Mischung zweier Stoffe

Beim Mischen von zwei Stoffen besteht die neue Mischung aus einem Teil $$m_1$$ des erste Stoffes und einem Teil $$m_2$$ des zweiten Stoffes. Die neue Menge ist also $$m=m_1+m_2$$.
Wie kommst du nun auf die neue Eigenschaft $$p$$ der Mischung, wenn die Ausgangsstoffe die Eigenschaften $$p_1$$ und $$p_2$$ haben? Hier hilft dir das Aufstellen eines Terms: Betrachte für jeden Stoff das Produkt aus Menge und Eigenschaft. Für die Mischung gilt einerseits $$m*p$$, aber andererseits auch $$m_1*p_1+m_2*p_2$$, da sie ja genau aus diesen beiden Stoffen besteht. Du erhältst also die Gleichung
$$(m_1+m_2)*p=m_1*p_1+m_2*p_2$$.

Dies kannst du in eine Tabelle eintragten, um gegebene bzw. gesuchte Größen übersichtlich zu notieren und dann die Lösung zu berechnen.

Die Tabelle der Mischungsrechnung

Mengen Eigenschaft
Produkt
A
$$m_1$$
$$p_1$$
$$m_1 * p_1$$
B
$$m_2$$
$$p_2$$
$$m_2 * p_2$$
Summe $$m_1 + m_2$$
$$p$$
$$(m_1+m_2)*p=m_1*p_1+m_2*p_2$$


Du erhältst die neue Eigenschaft nun durch Auflösen der Gleichung ganz unten rechts.

Diese Tabelle kann dir beim Lösen der Mischungsaufgaben behilflich sein!

Den Aufbau dieser Tabelle solltest du dir für die Lösung der Mischungsaufgaben gut merken.

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Beispiel 1: Zuckeranteile

6 Liter eines Fruchtsaftgetränks (Sorte A) mit einem Zuckeranteil von 60 % werden mit 4 Liter eines weiteren Fruchtsaftgetränks (Sorte B), das einen Zuckeranteil von 40 % aufweist, gemischt.
Welchen Zuckeranteil hat die Mischung?

Eintragen der Größen in die Tabelle

Du trägst zuerst alle Informationen aus der Aufgabenstellung in die Tabelle ein. Den unbekannten Zuckeranteil der Mischung bezeichnest du mit $$x$$.

V in l %
Produkt
A
$$6$$
$$0,6$$
$$3,6$$
B
$$4$$
$$0,4$$
$$1,6$$
Summe $$10$$
$$x$$
$$10x=3,6+1,6$$


Um $$x$$ zu bestimmen, musst du die Gleichung im Feld ganz unten rechts lösen!

Lösen der Gleichung und Antwortsatz

$$10x = 3,6+1,6= 5,2 |:10$$
$$x = 0,52$$
Die Mischung hat einen Zuckeranteil von $$52 %$$.

Lösen der Gleichung und Antwortsatz

$$10x = 5,2 |:10$$
$$x = 0,52$$
Die Mischung hat einen Zuckeranteil von $$52 %$$.

Beispiel 2: Salzlösung

3 Liter einer 80%igen Salzlösung (Sorte A) sollen mit destilliertem Wasser (Sorte B) zu einer 30%igen Salzlösung verdünnt werden.
Wie viel Liter Wasser muss genommen werden?

Destiliertes Wasser hat einen Salzanteil von 0 %.

Eintragen der Größen in die Tabelle

Auch hier trägst du zunächst alle bekannten Werte aus der Aufgabenstellung in die Tabelle ein. $$x$$ ist die unbekannte Wassermenge.

V in l %
Produkt
A
$$3$$
$$0,8$$
$$2,4$$
B
$$x$$
$$0$$
$$0$$
Summe $$3+x$$
$$0,3$$
$$(3+x)*0,3=2,4$$


Wieder erhältst du die gesuchte Variable $$x$$, indem du die Gleichung ganz unten rechts löst.

Lösen der Gleichung und Antwortsatz

$$(3+x)*0,3=2,4$$
$$0,9+0,3x = 2,4$$
$$0,3x=1,5$$
$$x=5$$
Es müssen $$5$$ Liter Wasser genommen werden.

Lösen der Gleichung und Antwortsatz

$$(3+x)*0,3=2,4$$
$$0,9+0,3x = 2,4$$
$$0,3x=1,5$$
$$x=5$$
Es müssen $$5$$ Liter Wasser genommen werden.

Variationen

Die beiden Beispiele zeigen, dass die unbekannte Größe an verschiedenen Stellen in der Tabelle auftreten kann.

Schritte zur Lösung von Mischungsaufgaben

  • Aufgabentext sorgfältig lesen
  • Gegebene Größen und die gesuchte Größe identifizieren
  • Alle Größen in die Tabelle eintragen
  • Summen und Produkte bilden
  • Lösen der Gleichung
  • Antwortsatz formulieren.
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