Die Wurzelfunktion untersuchen

Die Quadratwurzelfunktion $$y = sqrt(x)$$

Wurzeln kennst du schon. Dazu gibt es auch eine neue Funktionssorte! Auch das noch. Los geht’s:

Die Wurzelfunktion untersuchen

Zu jeder Fläche x eines Quadrats gehört eine eindeutig bestimmte Seitenlänge y mit der Zuordnung: Fläche x $$rarr$$ Seitenlänge y.

Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt: $$y^2=x$$.
Also: Du berechnest die Seitenlänge aus dem Flächeninhalt mit $$y=sqrt x$$.

Wertetabelle dieser Zuordnung:

x 0 0,16 0,64 1 4 9
y 0 0,4 0,8 1 2 3


Die Wurzelfunktion untersuchen

Die Wurzelfunktion
Funktionsgleichung : $$y = f(x) = sqrt(x)$$
Definitionsbereich von f: $$RR^(ge0)$$ (reelle Zahlen größer gleich 0)
Wertebereich von f: $$RR^(ge0)$$
Bezeichnung: Quadratwurzelfunktion oder kurz Wurzelfunktion

Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion

Das Wurzelziehen ist ja die Umkehrung des Quadrierens. Die Quadratfunktion lautet $$y = f(x) = x^2$$.

Wird der Definitionsbereich der Quadratfunktion $$y = f(x) = x^2$$ auf den Bereich $$x ge 0$$ eingeschränkt, gehört zu jedem y-Wert genau ein x-Wert. Damit besitzt die Funktion $$f$$ eine Umkehrfunktion $$f^-1$$.

Die Wurzelfunktion untersuchen

Rechnerisches Bestimmen der Umkehrfunktion

1. Schritt: Auflösen von y = f(x) nach x:

$$x^2 = y = f(x) | sqrt( )$$

$$ x = sqrt(y)$$

2. Schritt: Vertauschen der Variablen:

$$ y = sqrt(x)$$

3. Schritt: Notieren der Umkehrfunktion:

$$ f^-1(x) = sqrt(x)$$

Die Umkehrfunktion $$f^-1$$ ist die Wurzelfunktion.
Der Graph der Wurzelfunktion geht durch Spiegelung der Quadratfunktion an der Geraden y=x hervor.

Die Quadratfunktion $$f(x)=x^2$$ mit $$xge 0$$ und die Wurzelfunktion $$ f^-1(x) = sqrt(x)$$ sind zueinander Umkehrfunktionen.




Der Term unter der Wurzel heißt Radikand. Er darf nicht negativ werden.

Verschiebung der Wurzelfunktion I

Durch Ergänzung des Wurzelterms der Wurzelfunktion lassen sich weitere Funktionen bilden. Vergleiche die Wurzelfunktion mit der verschobenen Wurzelfunktion.

Beispiel 1:
Die Wurzelfunktion untersuchen

Eigenschaften:

  • Funktionsgleichung: $$y = sqrt(x) + 3$$
  • Definitionsbereich: $$RR^(ge0)$$
  • Wertebereich: $$RR^(ge3)$$
  • Vertikale Verschiebung um 3 Einheiten nach oben

Beispiel 2:

Die Wurzelfunktion untersuchen

Eigenschaften:

  • Funktionsgleichung: $$y = sqrt(x - 2) $$
  • Definitionsbereich: $$RR^(ge2)$$
  • Wertebereich: $$RR^(ge0)$$
  • Horizontale Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts

HORIZONTAL = WAAGERECHT= $$larr$$$$rarr$$

V    S
E    E
R    N
T    K    $$uarr$$
I  = R  =  
K    E    $$darr$$
A    C
L    H
    T

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Kombiniert

Du kannst die Funktion auch in beide Richtungen verschieben.

Beispiel 3:
Die Wurzelfunktion untersuchen

Eigenschaften:

  • Funktionsgleichung: $$y = sqrt(x + 1) - 2$$
  • Definitionsbereich: $$RR^(ge-1)$$
  • Wertebereich: $$RR^(ge-2)$$
  • Vertikale Verschiebung um 2 Einheiten nach unten
  • Horizontale Verschiebung um 1 Einheit nach links

Strecken oder Stauchen der Wurzelfunktion

Beispiel 1:
Die Wurzelfunktion untersuchen

Eigenschaften:

  • Funktionsgleichung: $$y = 3 sqrt(x -2) - 3$$
  • Definitionsbereich: $$RR^(ge2)$$
  • Wertebereich: $$RR^(ge-3)$$
  • Vertikale Verschiebung um 3 Einheiten nach unten
  • Horizontale Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts
  • Streckung mit dem Faktor 3

Beispiel 2:
Die Wurzelfunktion untersuchen

Eigenschaften:

  • Funktionsgleichung: $$y = -0,5 sqrt(x - 1)$$
  • Definitionsbereich: $$RR^(ge1)$$
  • Wertebereich: $$RR^(le0)$$
  • Vertikale Verschiebung um 0 Einheiten
  • Horizontale Verschiebung um 1 Einheit nach rechts
  • Stauchung mit dem Faktor 0,5
  • Spiegelung an der x-Achse

Verallgemeinerung

Mithilfe der Parameter a, b und c in der Funktionsgleichung $$y = a sqrt(x - b) + c$$ kannst du die Wurzelfunktion $$y = sqrt(x)$$ verschieben und strecken bzw. stauchen.

Vertikale Streckung oder Stauchung um den Faktor a,
für a < 0 wird an der x-Achse gespiegelt

Horizontale Verschiebung um b Einheiten,
für b > 0 nach rechts und
für b < 0 nach links

Vertikale Verschiebung um c Einheiten,
für c < 0 nach unten und für c > 0 nach oben.

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