Bruchgleichungen lösen

Gleichungen mit Brüchen

Gleichungen kannst du auch lösen, wenn sie mit Brüchen gestellt werden.

Wenn $$x$$ im Zähler steht, ist nichts besonderes zu bedenken.

Beispiel:

$$x/3 +4 = 8$$

Wenn $$x$$ im Nenner steht, musst du bedenken, dass der Nenner nicht $$0$$ sein darf. Damit scheiden bestimmte Lösungen für $$x$$ aus.

Beispiel:

$$3/x = 4/9$$

Hier darf $$x$$ nicht den Wert $$0$$ annehmen.


In der Gleichung $$3/(x+1) = 4/9$$ darf $$x$$ nicht den Wert $$-1$$ annehmen.

Du hörst sicherlich oft von deiner Mathematiklehrkraft, dass man durch $$0$$ nicht dividieren darf. Tatsache ist, du kannst auch nicht durch $$0$$ dividieren. Es ist nicht eindeutig. Das liegt an der Umkehrfunktion.

$$0$$$$*$$$$0 = 0$$ aber $$0$$$$:$$$$0 = 0$$ ist falsch.
$$1$$$$*$$$$0 = 0$$ aber $$0$$$$:$$$$0 = 1$$ ist falsch.
$$2$$$$*$$$$0 = 0$$ aber $$0$$$$:$$$$0 = 2$$ ist auch falsch.

$$0:0$$ kann ja nicht verschiedene Ergebnisse liefern. Deswegen haben Mathematiker ausgeschlossen, dass du durch $$0$$ dividieren darfst.

So rechnest du: $$x$$ im Zähler

Hier siehst du die „Regieanweisung“ für Gleichungen
mit $$x$$ im Zähler:

$$x/9 = 3/13 |*9$$

 $$x= 27 / 13 = 2 1/13$$

$$L = {2 1/13}$$

Umwandlung in die gemischte Schreibweise

Bei $$27/13$$ prüfst du erst, wie oft die $$13$$ in die $$27$$ passt. Das sind $$2$$ mal. Den Rest schreibst du als Bruch. $$27/13=2 1/13$$

So rechnest du: $$x$$ im Nenner

Zuerst bildest du immer den Kehrwert, damit $$x$$ in den Zähler kommt. Wenn du auf beiden Seiten den Kehrwert bildest, ändert sich an der Gleichheit nichts.

Beispiel:

$$9/x =3 /13$$    $$x$$ darf nicht $$0$$ sein.

$$9/x =3 /13$$    $$|$$ Kehrwert bilden

$$x/9 = 13/3   | *9$$

  $$x=117/3 = 39$$

 $$L = {39}$$

Der Kehrwert kommt als neue „Regieanweisung“ zum Gleichungslösen hinzu.

Die „Regieanweisung“ Kürzen kann in Aufgaben auch vorkommen, wenn du den Bruch kürzen kannst.

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Anwendungen mit Bruchgleichungen

Proportionale Zuordnungen

Wenn du eine Proportionale Zuordnung hast, kannst du eine Verhältnisgleichung aufstellen.

Beispiel:

4 Minimonster kosten $$3,20$$ $$€$$. Wie viel kosten $$7$$ Minimonster derselben Art?

Jetzt kannst du schreiben:

$$4$$ Minimonster = $$3,2$$ $$€$$
$$7$$ Minimonster =    $$x$$ $$€$$

$$4/7 = 3,2 / x $$   $$|$$ Kehrwert

$$7/4 = x/3,2$$   $$| *3,2$$

$$22,5/4=x$$

$$5,6 = x$$


Antwort: $$7$$ Minimonster kosten $$5,60$$ $$€$$.

Gleiche Einheiten (hier Minimonster und $$€$$) stehen in Verhältnisgleichungen immer untereinander.


Sprechweise:

$$4$$ verhält sich zu $$7$$ genauso wie
$$3,20$$ $$€$$ zu $$x$$ $$€$$.

Es ergibt sich folgende Gleichung:   

$$4/7 = 3,2 / x$$

Anwendungen mit Bruchgleichungen

Prozentaufgaben mit Verhältnisgleichungen lösen

Jede der drei Grundaufgaben der Prozentrechnung kannst du mit Verhältnisgleichungen lösen.

Beispiel:

In einer Klasse sind $$25$$ Schülerinnen und Schüler. $$8$$ Schülerinnen und Schüler tragen eine Brille. Wie viel $$%$$ sind das?

$$20$$ Schülerinnen und Schüler $$= 100$$ $$%$$
  $$8$$ Schülerinnen und Schüler $$=$$  $$x$$ $$%$$

 $$25 /8 = 100/x$$   $$|$$ Kehrwert

 $$8/25 = x/100$$   $$|*100$$

 $$800 / 25 = x$$

  $$32 = x$$

Antwort: $$32$$ $$%$$ der Schülerinnen und Schüler tragen eine Brille.




Hier musst du wissen, dass $$25$$ Schülerinnen und Schüler $$100$$ $$%$$ sind.

Anwendungen mit Bruchgleichungen

Maßstabaufgaben mit Verhältnisgleichungen lösen

Wenn du Aufgaben mit dem Maßstab lösen sollst, hilft dir die Verhältnisgleichung.

Beispiel:

Bei einer Atlaskarte steht zum Beispiel $$1:10.000.000$$
Das bedeutet: $$1 cm$$ im Bild entspricht $$10.000.000$$ $$cm$$ in Wirklichkeit.

Jetzt misst du im Atlas eine Strecke von $$7,8$$ $$cm$$ zwischen zwei Städten als Luftlinie. Du sollst berechnen, wie weit die Städte in der Realität auseinander liegen.

Du stellst eine Verhältnisgleichung auf.

$$1 =10.000.000$$

$$7,8 = x$$

$$1/7,8 = (10.000.000)/x   |$$ Kehrwert

$$7,8/1 = x / (10.000.000)   |*10.000.000$$

 $$78.000.000 = x $$


Antwort: Die Städte liegen $$780$$ $$km$$ auseinander.


















$$10.000.000$$ $$cm = 100$$ $$km$$

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