Vermischte Aufgaben Teiler und Vielfache

Teiler und Vielfache im Überblick

Hier bekommst du einen guten Überblick, was du mit Teilern und Vielfachen alles anstellen kannst.

Shoppen :)

Paula möchte sich neue T-Shirts kaufen. Ein T-Shirt, das ihr gefällt, kostet 8 €. Paul geht nicht sooo gern einkaufen und möchte gleich mehrere T-Shirts mitnehmen.

Gerade gibt es ein Angebot: Vier T-Shirts zum Dreifachen Preis! Paula rechnet: $$8$$ $$€ \cdot 3 =24$$ $$€$$.
„Eigentlich müssten die T-Shirts ja das Vierfache kosten:
$$8$$ $$€ \cdot 4=32$$ $$€$$. Da spare ich ja 8 €.“

Plötzlich fällt ihr auf: „24 und 32 sind also Vielfache der Zahl 8! Ich rechne 8 $$*$$ 3 und 8 $$*$$ 4 und komme so auf 24 und 32.“

Da stellt Paula fest: „Mit der 3 ist das genauso: 24 ist ein Vielfaches der 3! Das Achtfache der 3 ist 24.“


Eine Zahl heißt Vielfaches einer anderen Zahl, wenn du sie durch eine Multiplikationsaufgabe berechnen kannst.

Beispiel:
Die Zahl 24 ist ein Vielfaches der Zahl 8, denn $$5 \cdot 3=15$$.
Und genauso:
Die Zahl ist 24 ist ein Viefaches der Zahl 3, denn $$5 \cdot 3=15$$.


Bild: fotolia.com (Robert Kneschke)

Multiplizieren und teilen

Paula erzählt ihrem Freund Duc von dem erstandenen Schnäppchen und von den beiden Vielfachen der 8. „24 und 32 sind Vielfache von 8.“

Da sagt Duc: „Das heißt doch, dass 24 und 32 durch 8 teilbar sind. 24:8 ergibt 3 und 32:8 ergibt 4.“

Ist eine Zahl ein Vielfaches einer anderen Zahl, so ist sie durch diese Zahl teilbar.

Beispiel:
Die Zahl 24 ist ein Vielfaches der Zahl 8. Dann ist 24 durch 8 teilbar. 24 : 8=3.

Vermischte Aufgaben Teiler und Vielfache
Bild: H.-U. Wolf

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Die Teilbarkeitsregeln auf einen Blick

Diese Teilbarkeitsregeln kennst du schon:

Zahl Teilbarkeitsregel Beispiel
2 Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist.
Alle geraden Zahlen sind durch 2 teilbar.
8 ist gerade, also ist 8 durch 2 teilbar
3 Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. 363: Quersumme 3+6+3=12, also ist 363 durch 3 teilbar
4 Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind. 320: Die letzten beiden Ziffern, 20, sind durch 4 teilbar, also ist 320 durch 4 teilbar
5 Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist. 35: Die letzte Ziffer ist 5, also 35 ist durch 5 teilbar.
6 Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn die Zahl gerade ist (durch 2 teilbar) und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. 18: Quersumme 1+8=9 ist durch 3 teilbar, 18 ist gerade, also ist 18 durch 6 teilbar
9 Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. 18: 1+8=9 ist durch 9 teilbar, also ist 18 durch 9 teilbar
10 Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. 120: Die letzte Ziffer ist eine 0, also ist 120 durch 10 teilbar
25 Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern 00, 25, 50 oder 75 sind. 2075: Die letzte beiden Ziffern sind 25, also ist 2075 durch 25 teilbar


Ein besonderes Vielfaches

Für Anwendungsaufgaben brauchst du oft das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV).

Paula und Duc machen das immer mit der Primfaktorzerlegung. Sie sollen das kgV von 15 und 45 bestimmen.

Duc überlegt die Primfaktorzerlegung:

  • $$15 =$$ $$3 \cdot 5$$
    3 und 5 sind Primfaktoren.
  • $$45 = 9 \cdot 5$$.
    9 ist keine Primzahl, also weiter: $$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$$

Paula denkt weiter: „Für das kgV schreiben wir die Primfaktoren mit ihrem höchsten Vorkommen in ein Produkt: $$3 \cdot$$ $$ 3 \cdot 5$$ $$=45 $$.
Oh, hier ist die eine Zahl, 45, gleichzeitig das kgV. Das heißt, 45 ist ein Vielfaches von 15. Hätten wir ja auch gleich sehen können.“

Um das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zu finden, bestimmst du die Primfaktoren der beiden Zahlen. Für das kleinste gemeinsame Vielfache schreibst du jede Primzahl der beiden Zahlen mit ihrem höchsten Vorkommen in ein Produkt.

Beispiel: kgV(49; 21):
$$49=$$ $$7 \cdot 7 $$,
$$21=$$ $$3 \cdot 7$$
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist:
$$7 \cdot 7 $$ $$\cdot 3 $$ $$=147 $$

Jede Zahl lässt sich als Produkt von Primfaktoren darstellen.
Beispiel: $$30=2\cdot3\cdot5$$.
$$2, 3$$ und $$5$$ sind Primzahlen.

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Ein besonderer Teiler

Praktisch ist auch der größte gemeinsame Teiler (ggT).

Paula und Duc suchen den ggT von 363 und 33.

Zuerst kommt wieder die Primzahlzerlegung:

Duc sagt: „Hm, 33 ist doch durch 3 teilbar, ich probiere das auch mit 363.“

  • $$33=3*11$$ „Oh, schon fertig, 11 ist eine Primzahl.“
  • Die Quersumem von 363 ist $$3+6+3=15$$. Das ist durch 3 teilbar, also ist 363 auch durch 3 teilbar.
    $$363=3*121$$
    Ah, 121 ist doch eine Quadratzahl, das ist $$11*11$$. 11 ist ja eine Primzahl, also ist die Zerlegung:
    $$363=3*11*11$$

„Für den ggT schreiben wir die Primzahlen in ein Produkt, die in beiden Zahlen vorkommen.“

$$ggT(33; 363)=3*11=33$$

Um den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zu finden, bestimmst du die Primfaktorzerlegung. Schreibe die Primfaktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen, in ein Produkt.

Beispiel: ggT(105; 30)
105 = 3 $$\cdot$$ 5 $$\cdot$$ 7,
30 = 2 $$\cdot$$ 3 $$\cdot$$ 5.
Der größte gemeinsame Teiler von 105 und 30 ist 3 $$\cdot$$ 5 = 15.

Tipps und Tricks

Paula und Duc lernen für die Klassenarbeit. Paula sagt zu Duc: „Tja, da hilft wohl nur, dass man richtig fit mit dem kleinen Einmaleins ist… Dann bekommt man ein Gefühl für Zahlen und Vielfache und Teiler.“

Duc grübelt: „Was ist eigentlich mit Zahlen, für die es keine Teilbarkeitsregel gibt?? Ich kann an einer Zahl nicht rauskriegen, ob sie durch 7 teilbar ist.“

Paula sagt: „Da hilft nur rechnen. Nimm mal 164. Ist 164 durch 7 teilbar? 140 ist durch 7 teilbar, das sind 20. Bleiben 26 übrig. 26 ist nicht durch 7 teilbar. Aber 21. Der Rest ist 3. Also ist 164:7=23 Rest 3 und 164 ist nicht durch 7 teilbar.“

Kennst du keine Teilbarkeitsregel, musst du nacheinander alle Primzahlen, deren Teilbarkeitsregeln du nicht kennst, ausprobieren. Ist die Zahl durch keine andere Primzahl teilbar, ist sie selbst eine Primzahl.

Für die Teilbarkeit der 11 bildet man ebenfalls die Quersumme einer Zahl. Jede zweite Zahl bekommt aber ein minus davor geschrieben. Ist das Ergebnis 0, so ist die Zahl durch 11 teilbar.
Beispiel für 121: $$1-2+1=0.$$ $$121:11=11$$

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