Reelle zahlen – Zahlenbereiche untersuchen

Welche Zahlenbereiche gibt es?

Zahlen kannst du je nach Art einem oder mehreren Zahlenbereichen zuordnen. Zahlenbereiche sind Mengen, die Zahlen einer Sorte enthalten.

Diese Zahlenbereiche gibt es:

  • Natürliche Zahlen $$NN$$
  • Ganze Zahlen $$ZZ$$
  • Gebrochene Zahlen $$QQ_+$$
  • Rationale Zahlen $$QQ$$
  • Irrationale Zahlen
  • Reelle Zahlen $$RR$$

Was sind natürliche und ganze Zahlen?

Natürliche Zahlen $$NN$$

Der Zahlenbereich der natürlichen Zahlen $$NN$$ bildet das Zählen als natürlichen Prozess ab.

  • Die kleinste natürliche Zahl ist die $$0$$.

  • Die Menge der natürlichen Zahlen enthält alle Nachfolger der $$0$$ bis unendlich:
    $$NN={0,1,2,3,4,…, n, n+1,…}$$ .

Wie kannst du mit natürlichen Zahlen rechnen?

Du darfst uneingeschränkt addieren und multiplizieren.

  • Man sagt, $$NN$$ ist bezüglich der Addition und Multiplikation abgeschlossen.
  • Alle anderen Rechenoperationen sind nicht uneingeschränkt durchführbar.

Ganze Zahlen $$ZZ$$

Erweiterst du den Zahlenbereich der natürlichen Zahlen mit den negativen Zahlen, hast du die ganzen Zahlen:

  • In der Menge der negativen Zahlen sind alle positiven und negativen Zahlen ohne Komma: $$ZZ={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}$$
  • Nun kannst du auch uneingeschränkt subtrahieren.

Nachfolgerprinzip: Ist $$n$$ eine beliebige natürliche Zahl, dann ist $$n+1$$ ihr Nachfolger.

Beispiel: Die Zahl $$n=73$$ hat den Nachfolger $$n+1=74$$


Abgeschlossenheit: Das Ergebnis der Rechnung ist in derselben Menge, hier $$NN$$.

Beispiel:

  • Addierst du zwei natürliche Zahlen, ist die Summe auch eine natürliche Zahl. $$4+3 = 7$$
  • Rechnest du $$4:3$$, ist das Ergebnis keine natürliche Zahl, sondern ein Bruch $$4/3$$.

Was sind gebrochene und rationale Zahlen?

Gebrochene Zahlen $$QQ$$$$+$$

Willst du uneingeschränkt dividieren, brauchst du die Bruchzahlen.

  • $$QQ$$$$+$$ enthält alle positiven Brüche
  • $$QQ$$$$+$$$$={$$ $$a/b|$$ $$a,b$$ sei eine natürliche Zahl und $$b!=0}$$


Rationale Zahlen $$QQ$$

Nimmst du die negativen Brüche hinzu, hast du die rationalen Zahlen.

  • $$QQ={$$ $$a/b| a$$ sei eine ganze Zahl, $$b$$ sei eine natürliche Zahl und $$b!=0}$$
  • In $$QQ$$ darfst du alle Grundrechenarten uneingeschränkt ausführen.
  • $$QQ$$ enthält alle positiven und negativen Brüche, sowie alle abbrechenden Dezimalbrüche (z.B. $$-3,75$$) und periodischen Dezimalbrüche (z.B. $$0,66666…$$).


Einen Bruch schreibst du allgemein $$a/b$$.
Der Quotient aus zwei natürlichen Zahlen ist positiv.
Die Division durch Null ist in keinem Zahlbereich erlaubt, deshalb $$b!=0$$.







$$a$$ kann negativ sein, so kann auch der Quotient negativ sein.
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Was sind irrationale Zahlen?

Bei den rationalen Zahlen ist nur eines nicht vollständig erlaubt: das Wurzelziehen.

Manche Wurzeln kannst du schon ziehen:

  • $$sqrt(9)=3$$   da   $$3*3=9$$
  • $$sqrt(0,16)=0,4$$   da   $$0,4*0,4=0,16$$
  • $$sqrt(4/9)=2/3$$   da   $$2*2=4$$ und $$3*3=9$$


Irrationale Zahlen

Manche Wurzeln sind unendlich lange Dezimalzahlen und nicht als Bruch darstellbar. Das sind irrationale Zahlen.

Beispiele:

  • $$sqrt(2)=1,4142135623730…$$
  • $$sqrt(3)$$, $$sqrt(5)$$, $$sqrt(6,12223)$$

Was sind reelle Zahlen?

Vereinst du die rationalen und die irrationalen Zahlen, erhältst du die reellen Zahlen $$RR$$.

  • In diesem Zahlenbereich sind alle positiven und negativen Bruchzahlen sowie alle Wurzeln.
  • Aus negativen Zahlen kannst du keine Wurzel ziehen. $$sqrt(-4)$$ ist nicht definiert. Solche Zahlen sind nicht in den reellen Zahhlen $$RR$$ enthalten.

In dieser Abbildung siehst du, wie die Zahlenbereiche ineinander liegen:


Zahlenbereiche untersuchen - mit reellen Zahlen



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