Umfang und Flächeninhalt von zusammengesetzten Figuren berechnen

Zusammengesetzte Figuren

Frau Farbenfroh möchte eine Seite ihres Hauses neu verputzen. Außerdem soll an jeder Kante eine Holzleiste angebracht werden. Dazu berechnet Frau Farbenfroh den Flächeninhalt und den Umfang der Hausseite, indem sie die Gesamtfläche in Teilflächen zerlegt, die sie berechnen kann, nämlich ein Dreieck und ein Rechteck.

Umfang und Flächeninhalt von zusammengesetzten Figuren berechnen

Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren

Frau Farbenfroh berechnet also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks und des Rechtecks und addiert anschließend die Ergebnisse.

Flächeninhalt Rechteck:
$$A=a*b$$
$$A= 8,50  m * 3,50  m= 29,75 m^2$$

Flächeninhalt Dreieck:
$$A_D=(a*h_a)/2$$

$$A_D= ( 8,50  m * 2,50  m)/2=(21,25 m^2)/2=10,625 m^2$$

Flächeninhalt Gesamt:
$$A_G=A+A_D$$
$$A_G= 29,75 m^2+10,625 m^2=40,375 m^2$$

Die Fläche, die Frau Farbenfroh neu verputzen möchte ist 40,375 m² groß.


Du berechnest den Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren, indem du die Figur in berechenbare Figuren zerlegst und die Ergebnisse der Teilflächen addierst.









Zur Erinnerung:

Flächeninhalt Quadrat:
$$A=a^2$$

Flächeninhalt Rechteck:
$$A=a*b$$

Flächeninhalt Dreieck:
$$A_D=(a*h_a)/2$$

Weiter mit dem Umfang

Um den Umfang der Hausseite zu berechnen, addiert Frau Farbenfroh einfach alle Seitenlängen.

Umfang und Flächeninhalt von zusammengesetzten Figuren berechnen

Für die Hausseite von Frau Farbenfroh ergibt sich folgender Umfang:

$$U= a+b+c+c+b=a+2*b+2*c$$

$$=8,50 m+2*3,50 + 2*4,93 m$$

$$=8,50 m+7 m+9,86 m=25,36 m$$

Die Holzleisten, die an den Kanten der Hausseite angebracht werden sollen, haben eine Gesamtlänge von 25,36 m.

Du berechnest den Umfang zusammengesetzter Figuren, indem du alle Seitenlängen der Figur addierst.

Ein anderes Beispiel

Die Hofeinfahrt von Bauer Jeschke wird neu gepflastert. Außerdem soll sie mit einem neuen Metallzaun mit Schiebetor eingefasst werden.

Umfang und Flächeninhalt von zusammengesetzten Figuren berechnen

Wie groß sind Fläche und Umfang?

Die Fläche besteht aus zwei gleich großen Quadraten und einem Rechteck.

Flächeninhalt:

$$A_1=a^2=(3 m)^2=3 m*3 m=9 m^2$$

$$A_2= b*c=4 m*10 m=40 m^2$$

$$A_G=2*A_1+A_2=2*9 m^2+40 m^2$$

$$=18 m^2+40 m^2=58 m^2$$

Umfang:

$$U=6*a+2*b+c+d$$

$$=6*3 m+2*4 m+10 m+4 m$$

$$=18 m+8 m+10 m+4 m=40 m$$

Die Fläche, die neu gepflastert wird ist 58 m² groß und der Metallzaun ist insgesamt 40 m lang.

Mehrere Lösungsmöglichkeiten

Es gibt oft mehrere Möglichkeiten, die Gesamtfläche in Teilflächen zu zerteilen:

Umfang und Flächeninhalt von zusammengesetzten Figuren berechnen

oder

Umfang und Flächeninhalt von zusammengesetzten Figuren berechnen


Man kann auch von einer Gesamtfläche eine Teilfläche subtrahieren:

Umfang und Flächeninhalt von zusammengesetzten Figuren berechnen

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Und noch ein Beispiel

Umfang und Flächeninhalt von zusammengesetzten Figuren berechnen

Auch den Flächeninhalt und Umfang dieses unregelmäßigen Fünfecks kannst du berechnen, indem du es in bekannte Teilfiguren zerlegst. In diesem Fall sind es drei Dreiecke.
Auch hier gibt es wieder mehrere Möglichkeiten, z.B. diese:

Umfang und Flächeninhalt von zusammengesetzten Figuren berechnen

zum Berechnen:

Umfang und Flächeninhalt von zusammengesetzten Figuren berechnen

Flächeninhalt:

$$A_G=A_1+A_2+A_3$$

$$A_G=(a*h_1)/2+(g*h_2)/2+(b*h_3)/2$$

$$= ( 4,12  cm * 1,79  cm)/2+( 7,07  cm * 1,41  cm)/2+( 6,08  cm * 4,11  cm)/2$$

$$=( 7,37  cm^2+9,97  cm^2+ 24,99  cm^2)/2=(42,33  cm^2)/2= 21,17  cm^2$$

Umfang:

$$U=a+b+c+d+e$$

$$=4,12  cm+6,08  cm+4,12  cm+4,47  cm+2,24  cm=21,03  cm$$



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