Mit Sinus, Kosinus, Tangens im rechtwinkligen Dreieck rechnen

Das rechtwinklige Dreieck

Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck

Mit Sinus, Kosinus, Tangens im rechtwinkligen Dreieck rechnen

Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie heißt Hypotenuse.

Die beiden übrigen Seiten heißen Katheten.

Gegenkathete und Ankathete

Die Katheten werden noch einmal unterschieden.

Mit Sinus, Kosinus, Tangens im rechtwinkligen Dreieck rechnen

Die Kathete, die dem Winkel $$alpha$$ gegenüber liegt, heißt Gegenkathete von $$alpha$$.

Die Kathete, die am Winkel $$alpha$$ anliegt, heißt Ankathete von $$alpha$$.

Beispiel:

Mit Sinus, Kosinus, Tangens im rechtwinkligen Dreieck rechnen

Seite $$a$$:
Da die Seite $$a$$ dem Winkel $$alpha$$ gegenüberliegt, ist die Seite $$a$$ die Gegenkathete des Winkels $$alpha$$. Da die Seite $$a$$ aber auch am Winkel $$beta$$ anliegt, ist sie gleichzeitig die Ankathete von $$beta$$.

Seite $$b$$:
Da die Seite $$b$$ dem Winkel $$beta$$ gegenüberliegt, ist die Seite $$b$$ die Gegenkathete des Winkels $$beta$$. Da die Seite $$b$$ aber auch am Winkel $$alpha$$ anliegt, ist sie gleichzeitig die Ankathete von $$alpha$$.

Trigonometrie

Jetzt wird gleich gerechnet. Der Teil der Mathematik, in dem Seiten und Winkel in Dreiecken berechnet werden, heißt Trigonometrie. Los geht es mit rechtwinkligen Dreiecken.

Mit Sinus, Kosinus, Tangens im rechtwinkligen Dreieck rechnen

In rechtwinkligen Dreiecken kannst du gleiche Längenverhältnisse entdecken.

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Der Sinus eines Winkels

Mit Sinus, Kosinus, Tangens im rechtwinkligen Dreieck rechnen

a) $$alpha = 30°$$; $$a = 2\ cm$$; $$c = 4\ cm$$

b) $$α = 30°$$; $$a = 3\ cm$$; $$c = 6\ cm$$

Der Quotient $$a/c = (Geg\enkathete)/(Hypoten\use)$$ hat bei beiden rechtwinkligen Dreiecken den gleichen Wert.

a) $$a/c=2/4=1/2$$

b) $$a/c=3/6=1/2$$

Dieses Längenverhältnis wird Sinus genannt.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

$$S\i\n\us = (Geg\enkathete)/(Hypoten\use)$$

Der Kosinus eines Winkels

Der Quotient $$b/c = (Ankathete)/(Hypoten\use)$$ hat bei beiden rechtwinkligen Dreiecken den gleichen Wert.

Dieses Längenverhältnis wird Kosinus genannt.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

$$K\o\si\n\us = (Ankathete)/(Hypoten\use)$$

Der Tangens eines Winkels

Der Quotient $$a/b = (Ge\g\e\nkathete)/(Ankathete)$$ hat bei beiden rechtwinkligen Dreiecken den gleichen Wert.

Dieses Längenverhältnis wird Tangens genannt.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

$$Tang\ens = (Ge\g\e\nkathete)/(Ankathete)$$

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Einfache Berechnungen mit den Winkel­funktionen

Beispiel 1: Seiten berechnen

Mit Sinus, Kosinus, Tangens im rechtwinkligen Dreieck rechnen

gegeben: $$c = 4\ cm$$; $$alpha = 30°$$; $$gamma = 90°$$

Seite $$a$$

1. Formel aufstellen

$$sin alpha = (Geg\enkathete)/(Hypoten\use)$$   $$| * c$$


2. Formel umstellen

  $$sin alpha = (Geg\enkathete)/(Hypoten\use)$$   $$| * c$$
$$c * sin alpha = a$$


3. Ausrechnen

$$4 * sin 30° = a$$
    $$2\ cm = a$$

Seite b

1. Formel aufstellen

$$cos β = (Geg\enkathete)/(Hypoten\use)$$ $$| * c$$

2. Formel umstellen

  $$cos β = (Geg\enkathete)/(Hypoten\use)$$ $$| * c$$
$$c * cos β = b$$

3. Ausrechnen

$$4 * cos 30° = b$$
  $$3,46 cm ≈ b$$

















TR-Eingabe:

  $$4$$  
  
  $$*$$  
  
 $$sin$$
  
 $$30$$ 
  
 $$=$$ 













TR-Eingabe:

  $$4$$  
  
  $$*$$  
  
 $$cos$$
  
 $$30$$ 
  
 $$=$$ 

Einfache Berechnungen mit den Winkel­funktionen

Beispiel 2: Winkel berechnen

Mit Sinus, Kosinus, Tangens im rechtwinkligen Dreieck rechnen

$$a= 3\ cm$$; $$b = 4\ cm$$; $$alpha = ?$$

Winkel $$alpha$$

1. Formel aufstellen

$$tan alpha = (Geg\enkathete)/(Ankathete) = a/b$$

2. Ausrechnen

$$tan alpha = 3/4$$

   $$alpha ≈ 36,87°$$











TR-Eingabe:

  $$3/4$$  
  
 shift 
 oder 
 inv 
  
 $$tan$$ 
  
 $$=$$ 



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