Gleichungen lösen: Einfache quadratische Gleichungen

Was ist eine quadratische Gleichung?

In einer quadratischen Gleichung kommt die Variable in der zweiten Potenz und nicht höher vor.

Beispiele

  • $$x^2 = 3$$
  • $$ 2x^2 + 1,5x = 0$$
  • $$ x^2 + 2x ­- 3 = 0$$
  • $$ 0,5x^2 - 3x = 1,5$$


Quadratische Gleichungen können außer dem quadratischen Glied ($$x^2$$) ein lineares ($$x$$) und ein absolutes Glied (eine Zahl) enthalten.

Beispiel

 $$0,5·x^2$$ (quadr. Glied) $$ - 3·x$$(lin. Glied) = $$1,5$$ (abs. Glied)

Meistens sollst du quadratische Gleichungen lösen. Du suchst Zahlen für die Variable, die die Gleichung erfüllen. Diese Zahlen heißen Lösungen. Alle Lösungen bilden die Lösungsmenge $$L$$.

In einer quadratischen Gleichung kommt die Variable x in der 2. Potenz vor, aber in keiner höheren Potenz.

  • Es geht um Gleichungen mit einer Variablen (meist x).
  • hoch 2 heißt „quadratisch“.









  • „Erfüllen“ heißt: Du setzt eine Zahl für die Variable in die Gleichung ein und es entsteht eine wahre Aussage wie 2=2.
  • Die Lösungen quadratischer Gleichungen sind oft unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche (irrationale Zahlen).

Einfache quadratische Gleichungen

Die einfachsten quadratischen Gleichungen haben die Form

$$x^2=r,  r in RR$$.

Das $$r$$ ist eine beliebige reelle Zahl.

Beispiel:

$$x^2 = 9$$  mit  $$ r=9$$

Andere quadratische Gleichungen kannst du durch äquivalente Umformungen in diese Form bringen.

Beispiel:

$$3x^2 - 4 = 8  |+4$$

$$3x^2=12   |:3$$

$$x^2=4$$

Die einfachsten quadratischen Gleichungen enthalten Glieder mit $$x^2$$ und reelle Zahlen. Sie können umgeformt werden in die Form $$x^2=r$$  $$ (rinRR)$$.





Bei äquivalenter Umformung ändert sich die Lösungsmenge der Gleichung nicht!

Einfache quadratische Gleichungen lösen

1. Beispiel:

Löse die Gleichung $$x^2=9$$.

Lösung:
$$x_1=3$$ und $$x_2=-3$$ , denn $$3^2=9$$ und $$(-3)^2=9$$.

Lösungsmenge: $$L={-3;3}$$

2. Beispiel:

Löse die Gleichung $$x^2=1,69.$$

Lösung:
$$x_1=1,3$$ und $$ x_2=-1,3$$,
denn $$1,3^2=1,69$$ und $$(-1,3)^2=1,69.$$

Lösungsmenge: $$L={1,3;-1,3}$$

3. Beispiel:

Löse die Gleichung $$x^2=-4.$$

Keine Lösung, denn $$x^2>0$$ für alle reellen Zahlen x.

Lösungsmenge: $$L={ } $$   (leere Menge)

Wenn die quadratische Gleichung umgeformt ist in die Form $$x^2=r$$ und $$r$$ ist nicht-negativ, können die Lösungen der Gleichung durch die Wurzel aus $$r $$ bestimmt werden.
$$x^2=9$$
$$x_1=+ sqrt9 = 3$$
$$x_2= - sqrt9 =- 3$$

Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer positiv.

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Erst umformen

Kompliziertere Gleichungen kannst du auch lösen, wenn du sie in die Form $$x^2=r  (r inRR)$$ umformen kannst.

Beispiel:

$$2x*(4-x)=8(x-1)$$

Umformen:
Multipliziere die Klammern auf beiden Seiten aus.

$$2x*4-2x*x=8x-8$$

$$8x-2x^2=8x-8$$  |$$-8x$$

$$-2x^2=-8$$     |$$:(-2)$$

$$x^2=4$$   (reinquadratische Gleichung)

Lösung:
$$x_1=2$$ und $$x_2=-2$$
$$L={2;-2}$$

Probe:

$$x_1$$$$:$$ $$ 2*2*(4-2)=8*(2-1)$$

$$4*2=8*1$$

$$8=8$$

Versuche immer, eine gegebene Gleichung durch äquivalente Umformung zu vereinfachen.




Ausmultiplizieren: Jeder Summand in der Klammer wird mit dem Term vor der Klammer multipliziert.







Probe: Setze die berechnete Lösung in die Variable ein.

Lösungen der Gleichung $$x^2=r$$

Wie sieht die allgemeine Lösung aus?

Gegeben ist eine beliebige Gleichung der Form $$x^2=r$$.

Lösungen:  $$x_1=+sqrt(r) $$  und  $$x_2=-sqrt(r)$$

Die Lösbarkeit dieser Gleichungen hängt nur von der Zahl $$r$$ ab.

Diese 3 Fälle gibt es:

Gleichung    Anzahl
Lösungen
Lösung
$$r > 0$$$$:$$ $$x^2=r$$ 2 Lösungen $$x_1 =sqrt(r)$$
$$x_2=-sqrt(r)$$
$$r = 0$$$$:$$ $$x^2=0$$ 1 Lösung $$x = 0$$
$$r < 0$$$$:$$ $$x^2=r $$ keine Lösung $$———$$

$$(sqrt(r))^2=r$$ und $$(-sqrt(r))^2=r$$



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