Dreiecksarten kennen

Was ist eigentlich ein Dreieck?

Ein Dreieck besteht aus drei Punkten, die nicht auf einer Geraden liegen und den Verbindungsstrecken.

Die Punkte werden als Ecken und die Strecken als Seiten bezeichnet.

Ein Dreieck besteht also aus drei Ecken und drei Seiten.

Dreiecksarten kennen

So wird ein Dreieck bezeichnet

Die Ecken werden mit Großbuchstaben (meist A, B und C) bezeichnet.

Die Seiten werden mit Kleinbuchstaben (a, b und c) bezeichnet.

Die Innenwinkel werden mit kleinen griechischen Buchstaben
($$alpha$$, $$beta$$ und $$gamma$$) bezeichnet.

Zur Übersicht:

Eckpunkt gegenüber- liegende Seite Innenwinkel

A

a

$$alpha$$

B

b

$$beta$$

C

c

$$gamma$$

Dreiecksarten kennen

Die Winkelsumme in einem Dreieck

Die Summe der Innenwinkelgrößen in einem Dreieck beträgt immer 180°.

$$alpha + beta + gamma = 180°$$

Dreiecksarten kennen

Auf dem Bild ist $$alpha$$ genauso groß wie $$alpha_1$$. Das Gleiche gilt für $$beta$$ und $$beta_1$$.
Legst du alle Winkel nebeneinander, so erhältst du einen gestreckten Winkel. Ein gestreckter Winkel ist 180° groß.

Addierst du die Winkelgrößen von $$alpha$$, $$beta$$ und $$gamma$$, so erhältst du als Ergebnis die Summe von 180°.

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Wozu brauchst du die Winkelsumme?

Sind zum Beispiel zwei Winkelgrößen gegeben, kann man recht schnell den dritten fehlenden Winkel berechnen.

geg.: $$alpha = 55°$$ und $$beta = 45°$$
ges.: $$gamma$$

$$alpha + beta + gamma = 180°$$

$$55° + 45° + gamma = 180°$$

$$100° + gamma = 180°$$

$$gamma = 80°$$

Die Abkürzung geg. heißt gegeben und bedeutet, dass diese Angabe vorhanden ist.

Die Abkürzung ges. heißt gesucht und bedeutet, dass diese Angabe fehlt und berechnet werden soll.

Da gibt es aber noch die Außenwinkel

Die Nebenwinkel der Innenwinkel eines Dreiecks heißen Außenwinkel.

Ein Innenwinkel und der dazugehörige Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.

Die Summe der Außenwinkelgrößen eines Dreiecks beträgt immer 360°.

$$alpha´ + beta´+ gamma´ = 360°$$

Dreiecksarten kennen

Wozu brauchst du die Nebenwinkel?

Ist ein Innenwinkel und ein anderer Nebenwinkel gegeben, kannst du die fehlenden Winkel berechnen.

geg: $$alpha´= 80 °$$ und $$beta = 45°$$ ges: $$alpha, gamma$$

Du berechnest zuerst den Winkel $$alpha$$:

$$alpha + alpha´= 180°$$

$$alpha + 80° = 180°$$

$$alpha = 100°$$

Dann verwendest du den Satz über die Innenwinkelsumme und berechnest damit $$gamma$$.

$$alpha + beta + gamma = 180°$$

$$100° + 45° + gamma = 180°$$

$$145° + gamma = 180°$$

$$gamma = 35°$$

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So werden die Dreiecke eingeteilt Teil 1

Die Dreiecke können nach den Winkelgrößen und nach den Seitenlängen eingeteilt werden.

Einteilung nach Winkelgrößen:

Art des Dreiecks Besonderheit
spitzwinklig
Dreiecksarten kennen
alle Winkel sind spitz, also: $$alpha, beta, gamma lt 90°$$
rechtwinklig
Dreiecksarten kennen
ein Winkel ist genau 90° groß und die beiden anderen sind spitz, also z.B.: $$alpha = 90°$$ und $$beta, gamma lt90°$$
stumpfwinklig
Dreiecksarten kennen
ein Winkel ist stumpf und die beiden anderen sind spitz, also z.B.: $$alpha gt 90°$$ und $$beta, gamma lt 90°$$

So werden die Dreiecke eingeteilt Teil 2

Einteilung nach Seitenlängen:

Art des Dreiecks Besonderheit
ungleichseitig
Dreiecksarten kennen
alle Seiten sind unterschiedlich lang,
also: $$a!=b!=c$$
gleichschenklig
Dreiecksarten kennen
zwei Seiten sind gleich lang
also z.B.: $$a = b, c != a$$ und $$c !=b$$
gleichseitig
Dreiecksarten kennen
alle Seiten sind gleich lang,
also: $$a = b = c$$

Wann entsteht ein Dreieck?

Du kannst prüfen, ob 3 gegebene Seitenlängen ein Dreieck ergeben. Und das ohne zu zeichnen!

Das geht mit der Dreiecksungleichung.

Dreiecksungleichung
In einem Dreieck gilt: Addierst du die Länge von zwei Seiten eines Dreiecks, ist das Ergebnis größer als die Länge der dritten Seite.

$$a + b gt c$$   und   $$a+c gt b$$   und   $$b+c gta$$


So gehst du vor:
Du setzt statt den Buchstaben die vorgegebenen Seitenlängen ein und überprüfst, ob die Ungleichungen stimmen oder nicht.

Beispiel 1:
geg: $$a = 3   cm, b = 4 cm$$ und $$c = 5 cm$$

$$a + b gt c =>3 cm + 4 cm gt 5 cm => 7 cm gt 5 cm$$, das stimmt
$$a+c gt b => 3 cm + 5  cm gt 4  cm => 8 cm gt 4  cm$$, das stimmt
$$b+c gta => 4   cm + 5   cm gt 3   cm => 9   cm gt 3   cm$$, das stimmt

Alle drei Gleichungen sind wahre Aussagen. Das heißt, dass die 3 Seitenlängen $$a$$, $$b$$ und $$c$$ ein Dreieck ergeben.

Beispiel 2:
geg: $$a = 4   cm, b = 2   cm$$ und $$c = 1   cm$$

$$a + b gt c =>4   cm + 2   cm gt 1   cm => 6   cm gt 1   cm$$, das stimmt
$$a+c gt b => 4   cm + 1   cm gt 2   cm => 5   cm gt2   cm$$, das stimmt
$$b+c gta => 2   cm + 1   cm gt 4   cm => 3   cm gt 4   cm$$, das stimmt nicht

Nicht alle drei Gleichungen sind wahre Aussagen. Das heißt, die 3 Seitenlängen $$a$$, $$b$$ und $$c$$ ergeben kein Dreieck.

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Änderungen am Dreieck

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