Alle Parameter quadratischer Funktionen untersuchen

Strecken, Stauchen und Verschieben - die Scheitelpunktform

Wenn du quadratische Funktionen in der Form $$f(x)=a*(x-d)^2+e$$ hast, ist das meist sehr praktisch.

Du hast schon die Parameter $$a, d$$ und $$e$$ einzeln untersucht. Jetzt kommen alle 3 zusammen.

Eine Funktionsgleichung der Form
$$f(x)=a*(x-d)^2+e$$ heißt Scheitelpunktform der quadratischen Funktion.

1. Beispiel - Ablesen und Auswerten der Parameterwerte

Gegeben ist die Gleichung einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform, sie lautet:
$$f(x)=2*(x-3)^2+1$$

Du kannst folgende Werte für die Parameter ablesen:

  • $$a=+2$$
  • $$d=+3$$
  • $$e=+1$$

Die Werte sagen dir, dass die Normalparabel:

  • nach oben geöffnet ist (weil $$a$$ positiv ist)
  • gestreckt wird (weil $$a>1$$ ist)
  • nach rechts verschoben wird (weil $$d$$ positiv ist)
  • nach oben verschoben wird (weil $$e$$ positiv ist)
  • Die Parameter $$d$$ und $$e$$ geben dir die Werte für den Scheitelpunkt an. Der Scheitelpunkt liegt bei $$S(3|1)$$.

Die Koordinaten des Scheitelpunktes ergeben sich aus den Werten der Parameter $$d$$ und $$e$$.

2. Beispiel - Ablesen, Auswerten und Zeichnen der Parabel

Gegeben ist Funktion: $$f(x)=2*(x+4)^2-3$$.

Ablesen und Auswerten

  • $$a=+2$$: Die Normalparabel ist nach oben geöffnet und wird gestreckt.
  • $$d=-4$$: Die Normalparabel wird um 4 Einheiten nach links verschoben
  • $$e=-3$$: Die Normalparabel wird um drei Einheiten nach unten verschoben.

Der Scheitelpunkt lautet $$S(-4|-3)$$.

Zeichnen der Parabel

Beginne das Zeichnen der Parabel immer mit dem Einzeichnen des Scheitelpunktes $$S$$.

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Vom Scheitelpunkt aus zeichnest du weitere Punkte in das Koordinatensystem.
Bei der Normalparabel gehst du eine Einheit nach rechts und dann eine Einheit nach oben. Da aber die Normalparabel hier mit dem Faktor $$2$$ gesteckt wird, werden die $$y$$-Werte verdoppelt. Also gehst du eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben. Ebenso einen Schritt nach links und zwei Schritte nach oben.
Bei zwei Einheiten nach rechts gehst du normalerweise 4 Einheiten nach oben. Hier muss du aber 8 Einheiten nach oben gehen. Alle weiteren Punkte findest du nach dem gleichen Muster.

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Verbinde die Punkte zu einer Parabel.

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Beginne das Zeichnen einer Parabel immer mit dem Scheitelpunkt.





















Parabeln verbindest du frei Hand, nicht mit dem Lineal.
Die Parabel-Schablone kannst du nur für eine verschobene Normalparabel nutzen.

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3. Beispiel - Nach unten geöffnete Parabel

Gegeben ist die Funktionsgleichung $$f(x)=-1/2(x-2)^2+1$$

Ablesen und Auswerten

  • $$a=-1/2$$
  • $$d=+2 $$
  • $$e=+1$$

Die Normalparabel ist nach unten geöffnet, sie wird gestaucht, um zwei Einheiten nach rechts und um eine Einheit nach oben verschoben. Der Scheitelpunkt ist $$S(2|1)$$.

Zeichnen der Parabel

Nachdem du den Scheitelpunkt eingezeichnet hast, bestimmst du weitere Punkte der Parabel. Du gehst wie im letzten Beispiel nach rechts oder links, musst jetzt jedoch nach unten gehen, da die Parabel nach unten geöffnet ist. Der Parameter $$a$$ ist dem Betrag nach $$1/2$$, daher werden die „normalen“ $$y$$-Werte halbiert. Gehe eine Einheit nach rechts, dann musst du eine halbe Einheit nach unten gehen $$(1/2*1=1/2)$$. Ebenso verhält es sich, wenn du eine Einheit nach links gehst.
Gehst du $$2$$ Einheiten nach rechts oder links, musst du $$2$$ Einheiten nach unten gehen $$(1/2*4=2)$$.
Es entsteht die folgende Parabel:

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4. Beispiel - Vom Graph zur Funktionsgleichung

Jetzt geht’s andersrum. Du willst die Funktionsgleichung in der Form $$f(x)=a*(x-d)^2+e$$ herauskriegen.

Die folgende Parabel ist gegeben:

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Lies zuerst den Scheitelpunkt ab: $$S(2|-3)$$.
Das bedeutet, die Normalparabel wurde

  • um 2 Einheiten nach rechts verschoben
    $$rarr$$ $$d=+2$$
  • um 3 Einheiten nach unten verschoben
    $$rarr$$ $$e=-3$$.

Anschließend bestimmst du den Wert des Parameters $$a$$. Du erkennst am Graphen, das $$a$$ positiv sein muss, da die Parabel nach oben geöffnet ist. Gehe vom Scheitelpunkt $$S$$ eine Einheit nach rechts und bestimme dann, wie viele Einheiten du nach oben gehen musst, um wieder auf den Graphen zu treffen.
$$rarr$$ Hier ist es 1 Einheit.

Bei 2 Einheiten nach rechts musst du dann 4 Einheiten nach oben gehen. Das entspricht den Schritten auf der Normalparabel, das heißt, diese Parabel ist weder gestreckt noch gestaucht, somit ist der Wert des Parameters $$a=+1$$.

Setze alle Werte in die Scheitelpunktform ein und du erhältst: $$f(x)=+1*(x-2)^2-3$$.

Die $$+1$$ kannst du auch weglassen:
$$f(x)=(x-2)^2-3$$

5. Beispiel - Erschwerte Bedingungen

Und noch eine Parabel:

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Lies zuerst den Scheitelpunkt ab: $$S(-1,5|0,5)$$. Damit ist $$d=-1,5$$ und $$e=+0,5$$.

Du erkennst sofort, dass $$a$$ negativ sein muss, da die Parabel nach unten geöffnet ist. Um den Wert für $$a$$ zu bestimmen, gehst du wieder vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und stellst fest, dass der Wert, den du nach unten gehen musst, nicht eindeutig abzulesen ist. Man könnte $$a=-1/4$$vermuten. Um diese Vermutung zu festigen, gehst du 2 Einheiten nach rechts und musst anschließend nur eine Einheit nach unten gehen $$(-1/4*4=-1)$$. Gehst du vom Scheitelpunkt 4 Einheiten nach rechts, so musst du 4 Einheiten nach unten gehen $$(-1/4*16=-4)$$.
Der Wert für den Parameter $$a$$ ist also wirklich $$-1/4$$.

Einsetzen in die Scheitelpunktform ergibt:
$$f(x)=-1/4*(x+1,5)^2+0,5$$

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Ein Hinweis zum Schluss

Um zu einem Graphen die Funktionsgleichung zu finden, müssen der Scheitelpunkt und der Wert für den Parameter $$a$$ gut abzulesen sein. Das setzt ein genaues Koordinatensystem voraus.

Bei dieser Parabel kannst du die gesuchte Funktionssgleichung nicht oder nur ungenau bestimmen.

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Die Werte der Parameter $$a, d$$ und $$e$$ haben mehrere Nachkommastellen. Die Funktionsgleichung zu dieser Parabel lautet:
$$f(x)=3/7*(x+1,283)^2-2,085$$



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