p-q-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen

Die p-q-Formel

Das Werkzeug p-q-Formel nehmen die meisten, um quadratische Gleichungen zu lösen. Guck dir an, wie dir das Werkzeug pq-Formel gefällt:

 

Nochmal zum Lesen

Für das Lösen von quadratischen Gleichungen gibt es eine Formel, die du immer anwenden kannst: die p-q-Formel.

Lösungsformel („p-q-Formel“)

Gleichung: $$x^2+px+q=0$$
Lösungsformel:
$$x_1,2=-p/2+-sqrt((p/2)^2-q)$$ oder so: $$-p/2+-sqrt(p^2/4-q)$$

Auf den folgenden Seiten siehst du, wie du mit der Formel rechnest. Lies hier weiter, wenn du wissen willst, wie die Formel gefunden wurde.


Herleitung der Lösungsformel

Wende die Methode der quadratischen Ergänzung auf eine quadratische Gleichung in Normalform an.

$$x^2 +p·x + q=0$$  mit  $$p,q in RR. $$

  1. Schritt: Umformung

    $$x^2+p·x+q=0$$   $$|-q$$

    $$x^2+p·x=-q$$

  2. Schritt: quadratische Ergänzung

    $$x^2+p·x+((p)/(2))^2=-q+((p)/(2))^2$$

  3. Schritt: Binom bilden

    $$(x+(p)/(2))^2=-q+((p)/(2))^2$$

1. Lösung:
 $$x+(p)/(2)=sqrt(-q+((p)/(2))^2)$$ 

mit  $$x_1=-(p)/(2)+sqrt(((p)/(2))^2-q)$$
2. Lösung:
 $$x+(p)/(2)=- sqrt(-q+((p)/(2))^2)$$  mit  $$x_2 =-(p)/(2)-sqrt(((p)/(2))^2-q)$$















Methode der quadratischen Ergänzung anwenden auf beliebige reellen Zahlen $$p$$ und $$q$$.
Quadratische Ergänzung
$$x^2+  p*x  + ? =(? +?)^2$$ Zuordnung
$$x^2+  p*x  + ? =(x +?)^2$$
$$b=(p*x)/(2*x) rArr b=(p)/(2)$$
Quadratische Ergänzung:
$$b^2=((p)/(2))^2=(p^2)/(4)$$


Beachte: $$(sqrt(a))^2=a$$. $$(+sqrt(-q+((p)/(2))^2))^2=-q+((p)/(2))^2$$ $$(-sqrt(-q+((p)/(2))^2))^2=-q+((p)/(2))^2$$

Gleichung in Normalform

Ist die quadratische Gleichung in Normalform, kannst du die Lösungsformel gleich anwenden. Es muss eine $$1$$ vor $$x^2$$ stehen und eine $$0$$ auf der anderen Seite des $$=$$.
Allgemein: $$x^2+p·x+q=0$$
Lösungsformel: $$x_1,2=-p/2+-sqrt((p/2)^2-q)$$

Beispiel

Löse die Gleichung $$x^2+8·x+7=0$$.

Lösungsschritte

  • Bestimme die Koeffizienten $$p$$ und $$q$$.

    $$p=8$$  und  $$q=7$$

  • Setze $$p$$ und $$q$$ in die Lösungsformel ein.

    $$x_1,2=-(8)/(2)+-sqrt(((8)/(2))^2-7$$

    $$x_1,2=-4+-sqrt(16-7)$$

  • Vereinfache den Term unter der Wurzel.

    $$x_1,2=-4+-sqrt(9)=-4+-3$$

Lösung

$$x_1=-4+3=-1$$
$$x_2=-4-3=-7$$

Lösungsmenge $$L={-1;-7}$$

Probe

$$x_1=-1:   (-1)^2+8*(-1)+7=0$$

$$1-8+7=0$$

$$0=0$$ $$x_1=-7:   (-7)^2+8*(-7)+7=0$$

$$49-56+7=0$$

$$0=0$$

Diese Gleichung hat zwei Lösungen: $$x_1=-1$$ und $$x_2=-7$$.

Die Lösungsformel findest du in jedem Schultafelwerk oder der Formelsammlung.


In der Wurzel kannst du für$$ ((p)/(2))^2$$ auch $$(-(p)/(2))^2$$einsetzen, da $$(-(p)/(2))^2=((p)/(2))^2=(p^2)/(4)$$.
Beispiel:$$(-(8)/2)^2=((8)/(2))^2$$, da$$(-4)^2=4^2=16.$$

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Eine Lösung

Beispiel

Löse die Gleichung $$x^2-2,4·x+1,44=0$$.

  • Bestimme die Koeffizienten $$p$$ und $$q$$.

$$q=1,44$$ und $$p=-2,4 rArr (p)/(2)=(-2,4)/(2)=-1,2$$

  • Setze $$p$$ und $$q$$ in die Lösungsformel ein.

$$x_1,2=-(-1,2)+-sqrt((-1,2)^2-1,44)$$

  • Vereinfache den Term unter der Wurzel.

$$x_1,2=1,2+-sqrt(1,44-1,44)=1,2+-sqrt(0)$$

Lösung

$$x_1=x_2=1,2$$


Kannst du eine Seite der quadratischen Gleichung (in Normalform) in ein Binom umformen, hat die Gleichung nur eine Lösung!


Lösen durch Faktorisieren

Die Gleichung könntest du auch mit Faktorisieren lösen. $$x^2-2,4·x+1,44=(x-1,2)^2$$

$$=(x-1,2)·(x-1,2)=0$$

Nullproduktsatz: $$x-1,2=0   rArr x=1,2$$
Lösungsmenge $$L={1,2}$$

Probe

$$x=1,2:  1,2^2-2,4·1,2+1,44=0$$

$$1,44-2,88+1,44=0$$

$$0=0$$

Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform:
$$x_1,2=-p/2+-sqrt((p/2)^2-q)$$




$$sqrt(0)=0$$




Binom: $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$
Mit: $$a=x$$ und $$ 2·a·b=2,4·x$$
Damit: $$b=1,2$$ und $$b^2=1,44$$

Keine Lösung

Beispiel

Löse die Gleichung $$x^2-3·x+5=0$$.

Lösungsschritte

  • Bestimme die Koeffizienten $$p$$ und $$q$$.

    $$p=-3$$  und  $$q=5$$

  • Setze $$p$$ und $$q$$ in die Lösungsformel ein.

    $$x_1,2=+(3)/(2)+-sqrt(((-3)/(2))^2-5$$

    $$x_1,2=1,5+-sqrt(2,25-5)$$

  • Vereinfache den Term unter der Wurzel.

    $$x_1,2=1,5 +-sqrt(-2,75)$$

Lösung

Aus einer negativen Zahl kannst du keine Wurzel ziehen. Also hat die Gleichung keine Lösung.
Lösungsmenge $$L={$$ $$}$$

Eine quadratische Gleichung kann 2 Lösungen, 1 Lösung oder keine Lösung haben.
Das hängt nur von den Koeffizienten p und q der quadratischen Gleichung in Normalform $$x^2+p·x+q=0$$ ab.


Lösen mithilfe der quadratischen Ergänzung

Du kannst die Gleichung auch mit der quadratischen Ergänzung lösen.

Umformung:
$$x^2-3·x+5=0 |-5$$
$$x^2-3·x=-5$$
Quadr. Ergänzung:
$$x^2-3·x+2,25=-5+2,25$$
$$x^2-3·x+2,25=-2,75$$
$$(x-1,5)^2=-2,75$$

Lösung: Keine Lösung
Lösungsmenge $$L={$$ $$}$$

Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform:
$$x_1,2=-p/2+-sqrt((p/2)^2-q)$$






Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist für reelle Zahlen nicht definiert!

















Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer positiv.

3 Lösungsmöglichkeiten

Ob eine quadratische Gleichung 1, 2 oder keine Lösung hat, kannst du ganz systematisch betrachten.

Wurzel und Diskriminante

Für die Lösung einer quadratischen Gleichung mit der Lösungsformel ist der Term unter der Wurzel entscheidend. Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante.

Diskriminante $$D=(p/2)^2-q$$
Lösungsformel: $$x_1,2=-p/2+-sqrt(D)$$

Fallunterscheidung

1. Fall: $$D>0$$: Gleichung hat 2 Lösungen

$$ x_1=-p/2+sqrt(D)$$ und $$x_2=-p/2-sqrt(D) $$

Beispiel: $$x^2-2·x-8=0$$
$$p=-2$$ und $$q=-8$$
$$D=1^2-(-8)=1+8=9>0 rArr $$ zwei Lösungen
$$ x_1=1+sqrt(9)=4$$
$$x_2=1-sqrt(9)=-2$$
Lösungsmenge $$ L={4;-2} $$

2. Fall: $$D=0$$: Gleichung hat genau 1 Lösung

$$x=-p/2+-sqrt(0)=-p/2$$

Beispiel: $$0=x^2+6·x+9$$
$$p=6$$ und $$q=9$$
$$D=3^2-9=9-9=0   rArr$$ eine Lösung
$$x=-6/2=-3$$
Lösungsmenge $$ L={-3} $$

3. Fall: $$D<0$$: Gleichung hat keine Lösung

Beispiel: $$x^2+3·x+4=0$$
$$p=3$$ und $$q=4$$
$$D=1,5^2-4=2,25-4=-1,75<0 rArr$$ keine Lösung

Lösungsmenge: $$ L={$$ $$}$$

Die Lösung der quadratischen Gleichung $$0=x^2+p·x+q$$ in Normalform hängt nur von den Koeffizienten (Zahlen) $$p$$ und $$q$$ bzw. von der Diskriminante $$D$$ ab.

Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform:
$$x_1,2=-p/2+-sqrt((p/2)^2-q)$$

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Wurzelsatz von VIETA

Die Lösungen quadratischer Gleichungen in Normalform hängen nur von den beiden Zahlen $$p$$ und $$q$$ ab. Also muss ein direkter Zusammenhang zwischen den Zahlen $$p$$ und $$q$$ und den Lösungen $$x_1$$ und $$x_2$$ der Gleichungen bestehen. Diesen Zusammenhang findest du im Satz von VIETA.

Herleitung des Satzes

Hat die quadratische Gleichung $$x^2+p*x+q=0$$ die beiden Lösungen $$x_1$$ und $$x_2$$, dann kannst du sie mithilfe der Lösungsformel berechnen:
$$x_1=-p/2+sqrt(p^2/4-q$$ und
$$x_2=-p/2-sqrt(p^2/4-q$$.

Bilde die Summe aus $$x_1$$ und $$x_2$$:
$$x_1+x_2=-p/2+sqrt(p^2/4-q)+(-p/2-sqrt(p^2/4-q))$$
$$=-p/2+sqrt((p^2/4-q))-p/2-sqrt((p^2/4-q))=-p$$

Es gilt: $$x_1+x_2=-p$$

Bilde das Produkt aus $$x_1$$ und $$x_2$$:
$$x_1*x_2=(-p/2+sqrt(p^2/4-q))*(-p/2-sqrt(p^2/4-q))$$
$$=(-p/2)^2-(root 2 (1/4p^2-q))^2=1/4p^2-1/4p^2+q=q$$

Es gilt: $$x_1*x_2=q$$

Beispiel

Gleichung: $$x^2-4*x+3=0$$
$$p=-4$$ und $$q=3$$
Die Lösungen sind: $$x_1=3$$ und $$x_2=1$$
Du kannst mit dem Satz von Vieta prüfen, ob du die Lösungen richtig berechnest hast.
$$x_1+x_2=3+1=4 rarr$$ passt, denn $$4=-p$$
$$x_1*x_2=3*1=3 rarr $$ passt, denn $$3=q$$
Also sind $$3$$ und $$1$$ die Lösungen der Gleichungen.

Satz von VIETA
Die reellen Zahlen $$x_1$$ und $$x_2$$ sind genau dann Lösungen der quadratischen Gleichung $$x^2+px+q=0$$, wenn $$x_1+x_2=-p$$ und $$x_1*x_2=q$$.



Beachte:
$$+sqrt(p^2/4-q)-sqrt(p^2/4-q)=0$$

$$ -p/2+(-p/2)=-1/2p-1/2p=-1p$$


Wende die binomische Formel an: $$(a+b)*(a-b)=a^2-b^2$$
$$a=-p/2$$ und $$b=sqrt(p^2/4-q$$



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