Teiler und Primzahlen

Teilen unter Freunden

Stell dir vor: Du hast 12 Bonbons und willst sie an deine Freunde verteilen. Du teilst natürlich gerecht, jeder soll gleich viel bekommen.


Teiler und Primzahlen


Beispiel: Wenn du 6 Freunde hast, bekommt jeder 2 Bonbons. Wie sieht das aus mit unterschiedlichen Anzahlen von Freunden?

Anzahl Freunde Anzahl Bonbons
1 12
2 6
3 4
4 3
5 geht nicht
6 2
7 geht nicht
8 geht nicht
9 geht nicht
10 geht nicht
11 geht nicht
12 1


Die Zahl 12 kannst du durch 1, 2, 3, 4, und 6 und 12 teilen. Das Produkt eines jeden entstandenen Zahlenpaares ergibt jeweils 12.

$$1 * 12 = 12$$

$$ 2 * 6 = 12$$

$$ 3 * 4 = 12$$

$$ 4 * 3 = 12$$

$$ 6 * 2 = 12 $$

$$12 * 1 = 12$$

Die Faktoren der Produkte ergeben die Teiler der Zahl 12.
Die Teiler sind: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Mathematiker nehmen diese Schreibweise: $$T_{24} = { 1; 2; 3; 4; 6; 12} $$

Ist die Zahl der Freunde größer als 12, lassen sich die Bonbons nicht mehr aufteilen.

Teiler im Bild

Bildlich kannst du dir die Teiler von 12 so vorstellen:

$$12*1$$

Teiler und Primzahlen

$$6*2 $$

Teiler und Primzahlen

$$4*3$$

Teiler und Primzahlen

$$ 3*4$$

Teiler und Primzahlen

$$ 2*6 $$

Teiler und Primzahlen

$$1*12$$

Teiler und Primzahlen

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Teiler, Vielfache und Primzahlen

Also zusammengefasst: Wenn du eine Zahl durch ihre Teiler teilst, bleibt kein Rest übrig. Die Division geht auf.

Wenn du eine Zahl mit 2, mit 3, mit 4 und so weiter multiplizierst, erhältst du die Vielfachen der Zahl.

Wenn eine Zahl $$a$$ ein Vielfaches einer Zahl $$b$$ ist, dann ist die Zahl $$b$$ Teiler der Zahl $$a$$.


Teiler und Primzahlen


Primzahlen

Dann gibt es Zahlen, die genau 2 Teiler besitzen: die 1 und sich selbst.
Das sind die Zahlen 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19, …

Die Zahl 1 besitzt nur einen Teiler (1) und gehört deshalb nicht zu den Primzahlen.

Wenn du eine Zahl durch ihre Teiler teilst, bleibt kein Rest übrig.
Eine natürliche Zahl mit genau 2 Teilern heißt Primzahl.
Die 1 ist keine Primzahl.

Selber Teiler finden

Bestimme die Teiler der 24.

Schreibe die Produkte $$\text{Teiler}$$ $$*? = 24$$ auf.

$$1 * 24 = 24$$

$$ 2 * 12 = 24$$

$$ 3 * 8 = 24$$

$$ 4 * 6 = 24$$

$$5$$??
Für die 5 kannst du keine natürliche Zahl finden, die $$5*?= 24$$ ergibt. 5 ist also keine Teiler von 24.

$$6 * 4 = 24$$

Das hast du eigentlich schon mit $$4*6 = 24$$. Wenn du jetzt weiterrechnest, werden die Faktoren nur noch vertauscht. $$8*3$$ und $$412*244$$ und so. Das heißt, du hast schon alle Teiler gefunden.

Die Teiler von 24 sind: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12 und 24.
Mathematiker nehmen diese Schreibweise: $$T_24 = { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 }$$

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