Nullstellen bestimmen

Was sind Nullstellen?

Nullstellen sind die $$x$$-Werte einer Funktion, die den $$y$$-Wert $$0$$ haben.

Beispiel:

Eine Kerze ist zu Beginn 18 cm lang. Pro Stunde brennen 3 cm ab. Wann ist sie abgebrannt?

Die Funktionsgleichung für die Kerzenlänge ist
$$f(x)=18$$ $$– 3*x =$$ $$–3x +18$$

$$x$$: Stunden
$$y$$: Länge der Kerze

Wenn die Kerze abgebrannt ist, bedeutet das, dass die Länge $$0$$ ist. Der $$y$$-Wert ist $$0$$ und der $$x$$-Wert dazu gibt den Zeitpunkt an, bei dem die Kerze abgebrannt ist.

Mathematisch:

Für welches $$x$$ ist $$y=0$$? Wann gilt $$f(x)=0$$?

Wertetabelle:

$$x$$$$0$$$$3$$$$4$$$$5$$$$6$$
$$y=f(x)$$$$18$$$$9$$$$6$$$$3$$$$0$$

Die Kerze ist nach $$6$$ Stunden abgebrannt. Die Nullstelle dieser linearen Funktion ist also $$x=6$$. Es gilt $$f(6)=0$$.


Eine Nullstelle ist die Stelle $$x$$, an der die Funktion $$f$$ den $$y$$-Wert $$0$$ hat. Es gilt $$f(x)=0$$.

Nullstellen im Koordinatensystem ablesen

Der Graph zu der Kerzenaufgabe sieht so aus:

$$f(x)=$$ $$– 3x + 18$$

Nach $$6$$ Stunden ist ihre Länge $$0$$ – der zugehörige Punkt $$(6|0)$$ liegt auf der $$x$$-Achse. Die Nullstelle ist $$x = 6$$. Der Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse ist $$S(6|0)$$.

Nullstellen bestimmen

So ermittelst du die Nullstellen einer linearen Funktion zeichnerisch:

  1. Zeichne die Gerade.
  2. Lies den $$x$$-Wert ab, in dem die Gerade die $$x$$-Achse schneidet. Dies ist die Nullstelle.

Nullstellen sind die Schnittstellen mit der $$x$$-Achse.

Alle Punkte auf der $$x$$-Achse haben die $$y$$-Koordinate $$0$$.

Der Schnittpunkt eines Graphen mit der $$x$$-Achse ergibt sich aus der Nullstelle als $$x$$-Wert und dem zugehörigen $$y$$-Wert $$0$$: $$S(x|0)$$

Nullstellen berechnen

Für eine Nullstelle muss gelten: $$f(x)=0$$. Das brauchst du zum Rechnen.

$$f(x) =$$ $$– 3x + 18$$

$$– 3x + 18=0$$

Diese Gleichung löst du nach $$x$$ auf.

$$– 3x + 18 = 0$$ $$|$$ $$– 18$$

$$–3x =$$ $$– 18$$ $$|$$ $$: (–3)$$

$$x = 6$$

Die Nullstelle ist $$x=6$$.


Allgemein gilt:

$$mx + b = 0 | –b$$

$$m*x =$$ $$– b$$ $$|$$ $$: m$$

$$x=-b/m$$   Das ist die Nullstelle.

Nicht vergessen: $$m$$ darf nicht $$0$$ sein. $$m≠0$$

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Und wie bekommt man den Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse?

$$f(x) = – 3x + 18$$

Nullstellen bestimmen

Du berechnest zuerst die Nullstelle:

$$–3x+18=0$$

$$–3x = 18$$

$$x = 6$$

Du hast $$x = 6$$ mit der Bedingung $$f(x)=0$$ berechnet. Also ist der zu $$x = 6$$ gehörige $$y$$-Wert $$0$$.
Der Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse ist $$S(6|0)$$.

Du kannst zur Probe nachrechnen: $$f(6) = (–3)*6 + 18 = -18 +18 = 0$$.

Manchmal heißt die Nullstelle $$x_0$$. Dann lautet der Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse $$S(x_0|0)$$.















Die $$x$$-Achse besteht aus allen Punkten mit der $$y$$-Koordinate $$0$$.

Wie viele Nullstellen gibt es?

Wenn die Steigung größer oder kleiner $$0$$ ist, schneidet die Gerade die $$x$$-Achse genau einmal.

Beispiele:

$$f(x)= 0,5*x-3,5$$         $$f(x)=$$ $$–2*x – 4$$
  $$m=0,5>0$$             $$m=$$ $$–2 < 0$$

Nullstellen bestimmen

Wenn die Steigung $$=0$$ ist, dann ist der Graph parallel zur $$x$$-Achse und schneidet die $$x$$-Achse nicht. Es gibt keine Nullstelle.

Beispiel:

$$f(x) = 3$$
  $$m = 0$$, denn $$f(x) = 0*x +3$$

Nullstellen bestimmen

Andere Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben.

Nullstellen bestimmen


Die lineare Funktion zu $$f(x) = m x + b$$ hat immer genau eine Nullstelle, außer wenn $$m = 0$$ ist.



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