Rechengesetze der Multiplikation

Rechengesetze für’s Multiplizieren

Für’s Rechnen gibt’s bestimmte Regeln, klar.

Du kennst schon 2 Rechenregeln, die immer gelten:

  • von links nach rechts rechnen
  • Klammern zuerst berechnen

Und du hast für’s Addieren 2 besondere Gesetze kennengelernt:

  • das Vertauschungsgesetz oder Kommutativgesetz
    $$2+3=3+2$$
  • das Verbindungsgesetz oder Assoziativgesetz
    $$2+3+4$$ ist dasselbe wie $$2+(3+4)$$ und ist auch dasselbe wie $$(2+3)+4$$.

Falls du es schon ahnst: Ja, diese Gesetze gibt es auch für’s Multiplizieren!

Vertauschungsgesetz

Untersuche, was passiert, wenn du die Zahlen in einer Multiplikationsaufgabe umdrehst.

Beispiel:

$$12*8=96$$

$$8*12=96$$

Also ergibt $$12*8$$ das gleiche wie $$8*12$$.

Das Vertauschungs- oder Kommutativgesetz besagt:
Beim Multiplizieren kannst du die Faktoren vertauschen. Das Ergebnis bleibt gleich.

$$12*3=3*12$$

Oder allgemein:

$$a*b=b*a$$

$$a$$ und $$b$$ sind beliebige Zahlen.

Vorsicht bei der Division

Untersuche das Vertauschen bei der Division.

Beispiel:

$$100:50=2$$

$$50:100$$ – huch, das kannst du vielleicht noch gar nicht rechnen. Es kommt $$0,5$$ raus.

Jedenfalls ist $$100:50$$ nicht das gleiche wie $$50:100$$.

Mathematisch: $$100:50 != 50:100$$

Beim Dividieren kannst du Dividend und Divisor nicht vertauschen. Das Vertauschen ergibt unterschiedliche Ergebnisse.

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Kopfrechentrick mit Vertauschungsgesetz

Das Vertauschungsgesetz kann praktisch sein, wenn du im Kopf rechnest.

Beispiel 1: $$12$$$$*$$$$8$$$$*$$$$5$$

$$=$$$$12$$$$*$$$$5$$$$*$$$$8$$
└─┬─┘

$$=$$$$60$$$$*$$$$8$$

$$=$$$$480$$

Wenn du also zuerst $$12$$ und $$5$$ vertauschst, kannst du bequemer rechnen.


Beispiel 2: $$25$$$$*$$$$15$$$$*$$$$4$$$$*$$$$6$$

$$=$$$$25$$$$*$$$$4$$$$*$$$$15$$$$*$$$$6$$
└─┬─┘ └─┬─┘

$$=$$$$100$$$$*$$$$90$$

$$=$$$$9000$$


Das geht nicht bei allen Aufgaben. Aber guck immer zuerst, ob du geschickt rechnen kannst.

Verbindungsgesetz

Probiere auch, ob das Gesetz mit den Klammern für die Multiplikation gilt.

Aufgabe: $$7*2*5$$

1. Möglichkeit: von links nach rechts

$$7$$$$*$$$$2$$$$*$$$$5$$
└─┬─┘

$$=$$$$14$$$$*$$$$5$$

$$=$$$$70$$


2. Möglichkeit: Klammern setzen

$$7$$$$*$$$$(2$$$$*$$$$5)$$
└─┬─┘

$$=$$$$7$$$$*$$$$10$$

$$=$$$$70$$


3. Möglichkeit: Klammern woanders setzen

$$(7$$$$*$$$$2)$$$$*$$$$5$$
└─┬─┘

$$=$$$$14$$$$*$$$$5$$

$$=$$$$70$$

Du siehst: Du kannst die Klammern setzen oder nicht. Es kommt immer $$70$$ raus.

Das Verbindungs- oder Assoziativgesetz besagt:
Beim Multiplizieren kannst du beliebig Klammern setzen oder weglassen. Das Ergebnis bleibt gleich.

$$4 * 5 * 3 = ( 4 * 5 ) * 3$$

$$4 * 5 * 3 = 4 * ( 5 * 3 )$$

Oder allgemein:

$$a*b*c=(a*b)*c=a*(b*c)$$

$$a$$, $$b$$ und $$c$$ sind beliebige Zahlen.

Vorsicht bei der Division

Untersuche das Setzen von Klammern bei der Division.

Beispiel:

$$200$$$$:$$$$50$$$$:$$$$2$$
└──┬──┘

$$=$$$$4$$$$:$$$$2$$

$$=$$$$2$$


$$200$$$$:$$$$(50$$$$:$$$$2)$$
└─┬─┘

$$=$$$$200$$$$:$$$$25$$

$$=$$$$8$$

Also ist $$200:50:2$$ nicht das gleiche wie $$200:(50:2)$$.

Mathematisch: $$200:50:2 != 200:(50:2)$$.

Beim Dividieren kannst du nicht beliebig Klammern setzen. Das Setzen von Klammern führt zu unterschiedlichen Ergebnissen.

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Kopfrechentrick mit Verbindungsgesetz

Manchmal kannst du bequemer rechnen, wenn du Klammern setzt oder dir im Kopf denkst.

Guck, bei welchen Faktoren runde Zahlen rauskommen. Die multiplizierst du zuerst. Das heißt, du setzt Klammern.

Beispiel 1:

$$17$$$$*$$$$20$$$$*$$$$5$$

$$=$$$$17$$$$*$$$$(20$$$$*$$$$5)$$
└─┬─┘

$$=$$$$17$$$$*$$$$100$$

$$=$$$$1700$$

Wenn du hier zuerst $$20$$ und $$5$$ multiplizierst, bekommst du die runde Zahl $$100$$ heraus.

Beispiel 2:

$$30*5*9*25*4$$

$$=(30*5)*9*(25*4)$$
└─┬─┘ └─┬─┘

$$=$$$$150$$$$*$$$$9$$$$*$$$$100$$

$$=150*(9*100)$$
└──┬──┘

$$=$$$$150$$$$*$$$$900$$

$$=135 \ 000$$



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