Den Satz des Pythagoras anwenden

Der Satz des Pythagoras in Worten

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du Aussagen bezüglich der Seitenlängen und der Quadrate über den Seiten rechtwinkliger Dreiecke treffen.

Begriffe in rechtwinkligen Dreiecken:

Den Satz des Pythagoras anwenden Die Hypotenuse ist die längste Seite des Dreiecks, sie liegt dem 90°-Winkel gegenüber.
Die Katheten sind die kürzeren Seiten, die nicht dem 90°-Winkel gegenüber liegen.

Der Satz des Pythagoras besagt:

Satz des Pythagoras
In rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten genauso groß wie die Fläche des Quadrates über der Hypotenuse.

Der Satz des Pythagoras mit Variablen

So lässt sich der Satz des Pythagoras mit Variablen beschreiben:

Liegt der $$90°$$-Winkel bei $$C$$, dann gilt: $$c^2=a^2+b^2$$.

Den Satz des Pythagoras anwenden

Liegt der $$90°$$-Winkel bei $$B$$, dann gilt: $$b^2=a^2+c^2$$.

Liegt der $$90°$$-Winkel bei $$A$$, dann gilt: $$a^2=c^2+b^2$$.

Mit dem Pythagoras rechnen

Der Satz eignet sich zum Berechnen von Seitenlängen.

Beispiel:

Berechne mit dem Satz des Pythagoras die Länger der Seite $$c$$.

Den Satz des Pythagoras anwenden

So gehst du vor:

1. Darfst du den Satz verwenden?

Ja, das Dreieck hat einen $$90°$$-Winkel.

2. Wo liegt der rechte Winkel? Welche Formel nimmst du?

Der $$90°$$-Winkel liegt bei $$C$$. Dann heißt die Formel: $$c^2=a^2+b^2$$

3. Setze die Zahlen ein.

$$c^2=(6$$ $$cm)^2+(4$$ $$cm)^2$$

4. Stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um und berechne.

$$c^2=(6$$ $$cm)^2+(4$$ $$cm)^2 = 52$$ $$cm^2$$   $$|$$ Wurzel ziehen

$$c= sqrt(52 cm^2) approx 7,2$$ $$cm$$


Oder erst umstellen und dann Zahlen einsetzen:

$$c^2=a^2+b^2$$   $$|$$ Wurzel ziehen

$$c= sqrt(a^2+b^2) = sqrt((6 cm)^2 + (4 cm)^2) approx 7,2$$ $$cm$$












Du kannst auch erst die Formel umstellen und dann die Zahlen einsetzen.

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Anwendung in Dreiecken mit anderen Bezeichnungen

Manchmal sind die Dreiecke nicht mit den Buchstaben $$a$$, $$b$$, $$c$$ bezeichnet. Dann suchst du die Hypotenuse und formulierst danach die Gleichung.

Beispiel 1:

Den Satz des Pythagoras anwenden

Der $$90°$$-Winkel liegt $$t$$ gegenüber, $$t$$ ist also die Hypotenuse. Die Gleichung lautet $$t^2=s^2+u^2$$.

Beispiel 2:

Den Satz des Pythagoras anwenden

Der $$90°$$-Winkel liegt $$t$$ gegenüber, $$t$$ ist also die Hypotenuse. Die Gleichung lautet $$t^2=s^2+u^2$$. Dann formst du die Gleichungen nach der gesuchten Größe um.

Rechenbeispiel

Es wurde im Abstand von $$250$$ $$m$$ von einem Turm ein $$255$$ $$m$$-langes Seil gespannt. Wie hoch ist der Turm?

Den Satz des Pythagoras anwenden

1. Darfst du den Satz verwenden?

Ja, der Turm steht ja senkrecht auf der Erde.

2. Wo liegt der rechte Winkel? Welche Formel nimmst du?

$$h$$ und $$e$$ schließen einen rechten Winkel ein.
Dann heißt die Formel: $$l^2=e^2+h^2$$

$$e=250$$ $$m$$, $$l=255$$ $$m$$, $$l$$ ist die Hypotenuse.
Gesucht ist $$h$$.

3. Setze die Zahlen ein.

$$(255$$ $$m)^2 = (250$$ $$m)^2 +$$ $$h^2$$

4. Stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um und berechne.

$$(255$$ $$m)^2=(250$$ $$m)^2 +$$ $$h^2$$   $$| -(250$$ $$m)^2$$

$$(255   m)^2 - (250   m)^2 = 2525$$ $$m^2 =$$ $$h^2$$   $$| sqrt( )$$

$$h= sqrt(2525 m^2) approx 50,25$$ $$m$$

Der Turm ist $$50,25$$ $$m$$ hoch.


Oder erst umstellen und dann Zahlen einsetzen:

$$l^2=e^2+h^2$$   $$| -e^2$$ dann $$| sqrt( )$$

$$h= sqrt(l^2-e^2)= sqrt((255 m)^2 - (250 m)^2)$$

$$h approx 50,25$$ $$m$$



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