Der Median

Geschwindigkeitskontrolle


Bild: JENOPTIK Robot GmbH


Bei einer Geschwindigkeitskontrolle in einer 60-Zone wurden bei sieben Fahrzeugen folgende Werte ermittelt:

$$60 frac{km}{h} \ ; \ 53 frac{km}{h} \ ; \ 168 frac{km}{h} \ ; \ 59 frac{km}{h} \ ; \ 52 frac{km}{h} \ ; \ 55 frac{km}{h} \ ; \ 57 frac{km}{h} \ $$


Tony will wissen, wie viel die Fahrer im Durchschnitt gefahren sind. Sie rechnet:

$$frac{60+53+168+59+52+55+57}{7}=frac{504}{7}=72$$

Ihr Kommentar: „Die fahren im Schnitt $$72 frac{km}{h}$$. Das sind $$12 (km)/h$$ zu viel! Das sind alles RASER!!!!“

Vorsicht! Schau nochmal auf die Messwerte.
Es gibt nur einen Raser (Fahrer 3). Die anderen fahren in Ordnung. Solche Werte heißen Ausreißer. Sie beeinflussen den Mittelwert deutlich.

Ausreißer beeinflussen den Mittelwert. wenn es bei Daten Ausreißer gibt, ist der Mittelwert nicht sehr aussagekräftig.

Ein neuer Mittelwert: Der Median

Und nun? Es gibt noch andere Kennzahlen außer dem Mittelwert. Die sind bei Daten mit Ausreißern besser geeignet. Ein Beispiel ist der Median.

Ordne die Messwerte der Größe nach:
52   53   55   57   59   60   168

Der in der Mitte liegende Wert der geordneten Größen beschreibt die Kontrollmessung besser: Eine deutliche Mehrzahl der Fahrzeuge hält sich mit $$57 frac{km}{h}$$ an die Geschwindigkeitsbegrenzung.
Dieser Wert heißt Median. Das Symbol ist $$tildex$$. Sprich: x Schlange.

Den Median bestimmst du so:

1. Schritt: Ordne alle Daten der Größe nach.
2. Schritt: Bestimme den Median.
a) Der Wert, der genau in der Mitte steht, ist der Median.
b) Wenn 2 Werte in der Mitte stehen, bildest du von diesen 2 Werten den Mittelwert.

Beispiel 1:

Zahlenreihe geordnet: 1 3 3 5 6 8 9
Der Median steht genau in der Mitte: 5

Beispiel 2:

Zahlenreihe geordnet: 2 3 3 5 8 9
Es stehen 2 Zahlen in der Mitte. Berechne den Median: $$(3+5)/2=8/2=4$$

Der Median (oder Zentralwert) ist eine gute Kennzahl, wenn die Daten einen Ausreißer haben. Ordne die Daten der Größe nach. Ist die Anzahl der Daten ungerade, ist der Median der Wert in der Mitte. Ist die Anzahl gerade, so ist der Median der Mittelwert der beiden mittleren Werte.

Median bei einer Häufigkeitsliste

Gegeben ist diese Punkteliste:

Werte 3 4 5 8
absolute Häufigkeit 2 5 3 3



1. Schritt: Ordne alle Daten der Größe nach.

3   3   4   4   4   4   4   5   5   5   8   8   8

Es wäre auch möglich, die Reihenfolge zu vertauschen:

8   8   8   5   5   5   4   4   4   4   4   3   3

2. Schritt: Bestimme den Median.
a) Der Wert, der genau in der Mitte steht, ist der Median.
b) Wenn 2 Werte in der Mitte stehen, bildest du von diesen 2 Werten den Mittelwert.

Die Anzahl der Daten ist ungerade.
3   3   4   4   4   4   4   5   5   5   8   8   8
Der Median ist $$tildex = 4$$.

Ein Median teilt eine Anzahl von Werten in zwei Hälften. Dabei sind die Werte der einen Hälfte kleiner oder gleich als der Median. Die anderen sind größer oder gleich.

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Median und Mittelwert im Vergleich

Beispiel 1:

Der Median


Die Daten enthalten einen Ausreißer. Es ist der Wert 16. Dieser Wert beeinflusst stark den Mittelwert $$barx = 6$$. Der Median $$tildex = 3$$ charakterisiert die Datenmenge besser.

Beispiel 2:

Gegeben sind zwei bereits geordnete Zahlenreihen.

Zahlenreihe ohne Ausreißer:   74   78   84   85   87   90

Mittelwert: 83
Median: 84,5
Mittelwert und Median liegt recht dicht beieinander.

Beispiel 3:

Zahlenreihe mit Ausreißer:  0   1   3   5   5   7   9   11   15   99
Mittelwert: 15,5
Median: 6
Mittelwert und Median liegen weiter auseinander.

Wenn der Ausreißer 99 unberücksichtigt bleibt, liegen die Werte näher beieinander:
Mittelwert: 6,2
Median: 5



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