Einfache nicht-lineare Gleichungen lösen

Was ist eine Potenzgleichung?

Eine Gleichung der Form $$ax^2+b=c$$ heißt Potenzgleichung.

An der Stelle, wo die Hochzahl $$2$$ steht, kann jede beliebige natürliche Zahl stehen. Dich interessieren erst einmal nur die Fälle $$x^2$$ und $$x^3$$.

Beim Lösen dieser Gleichungen gehst du vor, wie immer, bis du am Ende der Umformung $$x^2=$$ … oder $$x^3=$$ … stehen hast.

Das Malnehmen einer Zahl mit sich selbst nennt sich Potenzieren. $$x*x=x^2$$ oder $$x*x*x=x^3$$

Daher der Name der Gleichung.

Die Hochzahl heißt Exponent.

Potenzgleichungen mit $$x^2$$

Einfaches Beispiel:

$$x^2=9$$

Du überlegst, welche Zahl mit sich selbst multipliziert $$9$$ ergibt.

$$x=3$$

Allerdings ist die 3 nicht die einzige Lösung, denn auch $$-3$$ geht.

$$x=-3$$

Probe:

$$3*3=9$$ und $$(-3)*(-3)=9$$.

Die Lösungsmenge enthält zwei Zahlen.

$$L={-3;3}$$

Im Laufe deiner Mathematik-Karriere wirst du in diesem Fall die zweite Wurzel ziehen:

$$x^2=9$$   $$|sqrt($$

Potenzgleichungen mit $$x^3$$

Einfaches Beispiel:

$$x^3=27$$

Du überlegst, welche Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert $$27$$ ergibt.

$$3*3*3=27$$

$$x=3$$

Die Lösungsmenge lautet $$L={3}$$.


Oder geht $$-3$$ auch? Nein, $$3$$ ist die einzige Lösung.

Denn $$(-3)*(-3)*(-3)=-27$$.

Du weißt jetzt sofort, was die Lösung für die Gleichung $$x^3=-27$$ ist.

Die Lösungsmenge ist $$L={-3}$$.

Im Laufe deiner Mathematik-Karriere wirst du in diesem Fall die dritte Wurzel ziehen:

$$x^3=27$$   $$|root 3()$$

Du erkennst die 3. Wurzel an der kleinen Drei oben links.

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$$x^2$$ und negative Zahlen

Bei Gleichungen der Form $$x^2=-9$$ kannst du gleich hinschreiben, dass die Gleichung keine Lösung besitzt.

Die Lösungsmenge ist leer: $$L={$$  $$}$$.

Es gibt keine Zahl, die mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt.

$$+*+=+$$

$$-*- =+$$

Eine komplexe Potenzgleichung lösen

$$3x*(x-1)+5+3x=17$$   $$|$$ Klammer auflösen

$$3x^2-3x+5+3x=17$$   $$|$$ Zusammenfassen

$$3x^2+5=17$$   $$|-5$$

$$3x^2=12$$   $$|:3$$

$$x^2=4$$     $$|$$ Überlege

Welche Zahl/en ergeben mit sich selbst multipliziert $$4$$ ?

$$x=2$$ und $$x=-2$$

$$L={-2;2}$$

$$+*+=+$$

$$-*- =+$$

Gleichungen mit $$x^2$$ und $$x$$

$$x^2-2x=3$$

Teile die Gleichung so auf:

$$x^2-2x=3$$   $$|+2x$$

$$x^2$$ steht allein auf einer Seite.

$$x^2=2x+3$$

Löse durch Probieren und erstelle eine Tabelle:

Setze Zahlen ein, die dir sinnvoll erscheinen. $$x^2$$ kann nur die Quadratzahlen $${1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …}$$ einnehmen.

Prüfzahl $$x^2$$ $$2x+3$$
$$-1$$ $$1$$ $$1$$
$$0$$ $$0$$ $$3$$
$$1$$ $$1$$ $$5$$
$$2$$ $$4$$ $$7$$
$$3$$ $$9$$ $$9$$

Die Zahlen $$-1$$ und $$3$$ sind die Lösungen.

$$L={-1;3}$$

Diese Aufgabe löst du später mit einer Formel oder grafisch. Jetzt haben solche Gleichungen immer ganze Zahlen als Lösung.














Die Zahlen $$1$$ und $$-3$$ sind keine Lösungen.

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Gleichungen mit Betragsstrichen

Mathematische Darstellung

$$|x|=2$$

Es gibt zwei Fälle, die gesondert betrachtet werden.

1. Fall: positiv

       $$x=2$$
2. Fall: negativ

       $$x=-2$$

Die Lösungsmenge ist $$L={-2;2}$$.


Herzliche Darstellung

$$|$$$$|=2$$

Es gibt zwei Möglichkeiten:

liebt mich       ODER     liebt mich nicht

(für mich positiv)             (für mich negativ)


  1. liebt mich“ ergibt die Gleichung $$=2$$

  2. liebt mich nicht“ ergibt die Gleichung $$=-2$$


Die Lösungsmenge $$L={-2;2}$$ bedeutet:

  • Das Leben geht mit weiter.
  • Das Leben geht ohne weiter.

Der Betrag ist der Abstand einer Zahl zur $$0$$.

$$|2|=2$$ und $$|-2|=2$$

Also gilt auch $$|2|=|-2|$$

Dasselbe gilt für Variablen:

$$|x|=x$$ und $$|-x|=x$$

Also $$|x|=|-x|$$


Gleichungen der Art $$|x|=-2$$ haben keine Lösung. $$L={$$  $$}$$

Im Betrag steht nicht nur ein $$x$$ ?

Auch dann gibt zwei Fälle.

Beispiel:   $$|x-4|=9$$

1. Fall:     $$x-4=9$$   $$|+4$$

           $$x=13$$

2. Fall:     $$x-4=-9$$   $$|+4$$

           $$x=-5$$

1. Probe:

$$|13–4|=9$$

$$|9|=9$$

$$9=9$$

2. Probe:

$$|-5–4|=9$$

$$|-9|=9$$

$$9=9$$

Die Lösungsmenge ist $$L={13;-5}$$.














Es muss nicht immer eine negative und eine positive Lösung geben.
Die Gleichung $$|$$$$-5|=1$$ hat die Lösungsmenge $$L= {4;6}$$.



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