Den Kongruenzsatz WSW nutzen

Der Kongruenzsatz WSW

Der zweite der vier Kongruenzsätze wird mit WSW bezeichnet.

Der Kongruenzsatz WSW (Winkel - Seite - Winkel)
Stimmen zwei Dreiecke in einer ihrer Seiten (S) und beiden an diesen Seiten anliegenden Winkeln (W) überein, so sind sie kongruent zueinander.


Du kannst den Kongruenzsatz WSW also in den folgenden Fällen anwenden:

1. gegeben: $$alpha$$, c, $$beta$$

Den Kongruenzsatz WSW nutzen

2. gegeben: $$beta$$, a, $$gamma$$

Den Kongruenzsatz WSW nutzen

3. gegeben: $$gamma$$, b, $$alpha$$

Den Kongruenzsatz WSW nutzen









Zur Erinnerung: Winkel werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet, der Winkel bei A ist $$alpha$$, der bei B ist $$beta$$ und der bei dem Punkt C ist $$gamma$$.

Beispiele

Beispiel 1:

Dreieck 1: $$alpha$$ = 70°, c = 6,3 cm, $$beta$$ = 42°
Dreieck 2: $$alpha$$ = 70°, c = 6,3 cm, $$beta$$ = 42°

Offensichtlich sind Dreieck 1 und Dreieck 2 jetzt nach dem Kongruenzsatz WSW zueinander kongruent. Sie stimmen in der Seite c und den beiden anliegenden Winkeln $$alpha$$ und $$beta$$ überein.

Beispiel 2:

Dreieck 3: $$alpha$$ = 70°, c = 6,3 cm, $$beta$$ = 42°
Dreieck 4: $$beta$$ = 70°, a = 6,3 cm, $$gamma$$ = 42°

Auch die Dreiecke 3 und 4 sind zueinander kongruent, da an die Seite c die Winkel $$alpha$$ und $$beta$$ angrenzen und an die Seite a die Winkel $$beta$$ und $$gamma$$.

Beispiel 3:

Dreieck 5: $$alpha$$ = 70°, c = 6,3 cm, $$beta$$ = 42°
Dreieck 6: $$beta$$ = 42°, a = 6,3 cm, $$gamma$$ = 70°

Die Dreiecke 5 und 6 sind ebenfalls zueinander kongruent, auch wenn hier die rechts und links anliegenden Winkel vertauscht sind. Dreieck 6 ist Dreieck 5 gespiegelt.

Beispiel 4:

Dreieck 7: $$alpha$$ = 70°, c = 6,3 cm, $$gamma$$ = 42°
Dreieck 8: $$beta$$ = 42°, a = 6,3 cm, $$gamma$$ = 70°

Obwohl hier jeweils eine Seite und zwei Winkel gegeben sind, lässt sich der Kongruenzsatz WSW nicht anwenden, da bei Dreieck 7 der Winkel $$gamma$$ der Seite c gegenüber und nicht anliegt.

Konstruieren mit dem Kongruenzsatz WSW

So konstruiert du mit WSW:

Konstruktionsbeschreibung

Konstruiere ein Dreieck mit der Seitenlänge b=5 cm, $$alpha$$ = 30° und $$gamma$$ = 70°. Dazu gehst Du folgendermaßen vor.

1. Schritt:

Zeichne die Seite b mit den Eckpunkten A und C.

Den Kongruenzsatz WSW nutzen

2. Schritt:

Trage am Punkt A den Winkel $$alpha$$ ab und zeichne durch den Punkt A eine Gerade g, die lang genug ist.

Den Kongruenzsatz WSW nutzen

3. Schritt:

Trage am Punkt C den Winkel $$gamma$$ ab und zeichne durch den Punkt C eine Gerade h, die lang genug ist.

Den Kongruenzsatz WSW nutzen

4. Schritt:

Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt. Nenne diesen Punkt B.

Den Kongruenzsatz WSW nutzen

5. Schritt:

Verbinde die Punkte A und B zur Strecke c.

Den Kongruenzsatz WSW nutzen

6. Schritt:

Verbinde die Punkte C und B zur Strecke a.

Den Kongruenzsatz WSW nutzen

Nachhilfe in Mathe, Englisch, Deutsch

Noch nicht kapiert?

kapiert.de kann mehr:

  • interaktive Übungen
    und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager

Allgemeines Vorgehen

Um die Konstruktion auch in den anderen Fällen durchführen zu können, gehst du so vor:

gegeben $$alpha$$, c, $$beta$$ $$beta$$, a, $$gamma$$ $$gamma$$, b, $$alpha$$
Schritt 1 c zeichnen a zeichnen b zeichnen
Schritt 2 $$alpha$$ an A abtragen $$beta$$ an B abtragen $$gamma$$ an C abtragen
Schritt 3 $$beta$$ an B abtragen $$gamma$$ an C abtragen $$alpha$$ an A abtragen
Schritt 4 Punkt C als Schnittpunkt Punkt A als Schnittpunkt Punkt B als Schnittpunkt
Schritt 5/6 a und b zeichnen b und c zeichnen c und a zeichnen

Beweis des Kongruenzsatzes WSW

Da die beiden Winkel an den gegebenen Seiten anliegen, besteht die einzige Möglichkeit, das Dreieck auf verschiedene Arten zu zeichnen, darin, diese beiden Winkel zu vertauschen. Fahren wir dann mit der Konstruktion wie beschrieben fort, so erhalten wir zwei zueinander spiegelbildliche Dreiecke.

Solche Dreiecke sind zueinander kongruent.

Den Kongruenzsatz WSW nutzen

Den Kongruenzsatz WSW nutzen



Noch nicht kapiert?

Screenshot kapiert.de Mathe Aufgaben EdM

Das Thema macht dir noch Schwierigkeiten?
Teste das Lernportal von kapiert.de!

  • alle Themen aus deinem Schulbuch
  • interaktive Übungen und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Video-Chat mit Tutoren in allen Fächern

Die Testlizenz endet nach 14 Tagen automatisch. Es entstehen keine Kosten.

Ich habe die AGB und Datenschutzhinweise gelesen und stimme ihnen zu.