Funktionswerte bestimmen

Funktionswerte berechnen

Bei einer Funktion gehört zu jedem $$x$$-Wert ein $$y$$-Wert.

Mit dem Funktionsterm kannst du die $$y$$-Werte berechnen. Du setzt statt der Variablen jeweils eine Zahl ein und rechnest den Term dann aus.

Die $$y$$-Werte heißen auch Funktionswerte.

Beispiel:
Funktion: $$f($$$$x$$$$) = 3$$$$x$$ $$– 5$$

Den Funktionswert zu $$x=$$ $$5$$ berechnest du so:
$$f($$$$5$$$$) = 3*$$ $$5$$ $$– 5= 15$$ $$– 5 = 10$$

Den Funktionswert zu $$x=$$ $$-1$$ berechnest du so:
$$f($$$$-1$$$$) = 3*($$$$-1$$$$)$$ $$– 5=$$ $$–3$$ $$– 5 =$$ $$–8$$

$$x$$-Wert und $$y$$-Wert gehören zusammen. Sie bilden ein Wertepaar oder einen Punkt.

Du schreibst:
Die Wertepaare $$(-1|-8)$$ und $$(5|10)$$ gehören zur Funktion $$f(x)=3x-5$$

Das sieht doch aus wie bei Punkten im Koordinatensystem? Richtig!

So sieht’s allgemein aus:

Funktionsgleichung:
$$y = f(x)=mx+b$$ (für jeden $$x$$-Wert)

Funktionswert für $$x=2$$:
$$f(2)=m*2+b$$ (für einen bestimmten $$x$$-Wert)

   Funktionsterm
    ┌─┴──┐
$$f(x)=3x-5$$
└────┬────┘
Funktionsgleichung

Wertepaare und Punkte

Lineare Funktionen haben als Graph immer eine Gerade.

Das Wertepaar $$(x|y)$$kannst du als Punkt im Koordinatensystem zeichnen. Die Wertepaare der Funktion sind die Punkte der Geraden im Koordinatensystem.

Mit 2 Wertepaaren bzw. Punkten kannst du die Gerade zeichnen.

Beispiel:
Nach $$x$$ Minuten ist die Höhe $$h(x)$$ einer Kerze in cm $$h(x)=$$ $$–2/3 x + 20$$.

Um die Gerade zu zeichnen, berechnest du 2 Punkte, die nicht zu eng beieinander liegen.

Du rechnest:
$$h(0)=–2/3*0+20=20$$ $$rarr$$ Punkt $$(0|20)$$
$$h(30)=–2/3*30+20=–20+20=0$$ $$rarr$$ Punkt $$(30|0)$$

Funktionswerte bestimmen

$$x$$-Koordinate
     $$darr$$
Punkt $$($$$$2$$$$|$$$$3$$$$)$$
      $$uarr$$
  $$y$$-Koordinate

Hier heißt die Funktion nicht $$f$$, sondern $$h$$. Statt $$f$$ für irgend eine Funktion, wählt man hier $$h$$ für die Funktionsgleichung der Höhe.

Andersrum: $$x$$-Werte berechnen

Ein bisschen schwieriger ist es, wenn das $$y$$ gegeben ist und du das zugehörige $$x$$ berechnen sollst.

Die $$x$$-Werte heißen übrigens Argumente.

Beispiel:

Funktion:  $$f(x) = 3x$$ $$– 5$$

Wie heißt der $$x$$-Wert zum Funktionswert $$4$$?

Mathematisch: Für welches $$x$$ gilt $$f(x)=4$$?

$$3x-5=4$$  $$|$$ $$+5$$

   $$3x=9$$  $$|$$ $$:3$$

   $$x=3$$

Zum Funktionswert $$y=4$$ gehört $$x=3$$.

Ein $$x$$-Wert heißt auch Argument oder Abszisse (von lat. linea abscissa „abgeschnittene Linie“)

Ein $$y$$-Wert heißt auch Ordinate (von lat. linea ordinata „geordnete Linie“)

$$y$$ ist von $$x$$ abhängig – als Eselbrücke für die Bezeichnungen kannst du dich an die Reihenfolge im Alphabet halten:
A vor O so wie $$x$$ vor $$y$$.

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Anwendungsaufgabe

Anna hilft in den Ferien auf dem Erdbeerfeld aus. Sie kassiert die Preise für selbstgepflückte Erdbeeren.

  • $$1$$ kg Erdbeeren kostet $$2,50$$ $$€$$.
  • Jeder Kunde bezahlt zusätzlich $$0,50$$ $$€$$ dafür, dass er beim Pflücken ein wenig naschen darf.

Anna schreibt sich die Funktionsgleichung $$y=f(x) =2,5*x+0,5$$ auf und berechnet verschiedene Wertepaare.

Beispiel 1:
Wie viel kosten $$2$$ kg gepflückte Erdbeeren?
$$y=f(2)=2,5*2+0,5=5,5$$

$$2$$ kg gepflückte Erdbeeren kosten $$5,50$$ $$€$$.

Beispiel 2:
Herr Lu bezahlt $$13,00$$ $$€$$. Wie viel kg Erdbeeren hat er gepflückt?

$$y=f(x)=13,00$$

$$2,5*x+0,5=13,00$$  $$|$$ $$-0,5$$

    $$2,5*x=12,50$$  $$|$$ $$:2,5$$

      $$x=5$$

Herr Lu hat $$5$$ kg Erdbeeren gepflückt.

Wertetabelle

Damit Anna nicht jedes Mal rechnen muss, hat sie eine Wertetabelle angelegt:

$$y=f(x) =2,5*x+0,5$$

Gewicht in kg ($$x$$) Preis in Euro ($$y$$)
$$1,0$$
$$3,00$$
$$1,5$$
$$4,25$$
$$2,0$$
$$5,50$$
$$2,5$$
$$6,75$$
$$3,0$$
$$8,00$$
$$3,5$$
$$9,25$$
$$4,0$$
$$10,50$$
$$4,5$$
$$11,75$$
$$5,0$$
$$13,00$$

Der Graph dazu:

Funktionswerte bestimmen


Eine Wertetabelle ist übersichtlich, wenn du mehr als 2 Punkte des Graphen berechnest.


Tipp Taschenrechner:

Manche Taschenrechner nehmen dir die Rechenarbeit für eine Wertetabelle ab – schau einmal in der Gebrauchsanweisung nach!

Ein bisschen Theorie zum Schluss

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich sind alle Zahlen, die du in eine Funktion einsetzen kannst, also alle $$x$$-Werte.

Bei linearen Funktionen: $$D= QQ$$

Wertebereich

Der Definitionsbereich sind Funktionswerte ($$y$$-Werte), die beim Berechnen des Funktionsterms rauskommen können.

Bei linearen, aber nicht konstanten Funktionen: $$W= QQ$$







$$QQ$$ sind die rationalen Zahlen: alle positiven und negativen Brüche.

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