Allgemeine quadratische Gleichungen lösen

Zur Erinnerung: Normalform

Quadratische Gleichungen kannst du am bequemsten lösen, wenn sie in Normalform sind. Normalform heißt: $$1$$ vor $$x^2$$ und eine $$0$$ auf der anderen Seite des $$=$$.
Allgemein: $$x^2+px+q=0$$

So geht das mit der quadratischen Ergänzung:

Löse die Gleichung $$x^2-3*x+2=0$$.

Lösungsschritte

  • Stelle die Gleichung um.
    $$x^2-3*x+2=0   |-2$$
    $$x^2-3x=-2$$
  • Addiere die quadratische Ergänzung.
    $$x^2-3x$$$$+1,5^2$$$$=-2$$$$+1,5^2$$

  • Bilde das Binom.
    $$(x-1,5)^2=0,25$$

  • Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

    1. Fall: $$x-1,5=sqrt(0,25)$$

    2. Fall: $$x-1,5=-sqrt(0,25)$$

Lösung

1. Lösung: $$x-1,5=0,5 rArr x_1=2$$

2. Lösung: $$x-1,5=-0,5 rArrx_2=1$$

Lösungsmenge $$L={1;2}$$

Allgemeine Form

Aber wie gehst du vor, wenn deine Gleichung nicht in Normalform steht? Sondern so allgemein: $$a*x^2+b*x+c=0$$

Beispiel

$$2x^2+2x-12=0$$
Du kannst eine quadratische Ergänzung nur auf quadratische Gleichungen in Normalform anwenden. Also: Stelle zuerst die Normalform her.

Lösungsschritte

  • Teile die gesamte Gleichung (beide Seiten der Gleichung) durch den Faktor vor dem $$x^2$$.

    $$2x^2+2x-12=0   |:2$$
    $$x^2+x-6=0$$

    Ab hier läuft die quadratische Ergänzung so, wie du sie kennst.

  • Stelle die Gleichung um.
    $$x^2+x-6=0   |+6$$
    $$x^2+x=6$$

  • Addiere die quadratische Ergänzung. $$x^2+x+(1/2)^2=6+(1/2)^2$$

  • Bilde das Binom.
    $$(x+1/2)^2=6,25$$
  • Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

    1. Fall: $$x+1/2=sqrt(6,25)$$

    2. Fall: $$x+1/2=-sqrt(6,25)$$

Lösung

1. Lösung: $$x+1/2=2,5 rArr x_1=2$$

2. Lösung: $$x+1/2=-2,5 rArrx_2=-3$$

Lösungsmenge $$L={-3;2}$$

Liegt die quadratische Gleichung in allgemeiner Form vor, teilst du sie zuerst durch den Faktor vor dem $$x^2$$.

Noch ein Beispiel

Löse die Gleichung $$4x^2+12x-4=12$$.

Lösungsschritte

  • Teile die gesamte Gleichung (beide Seiten der Gleichung) durch den Faktor vor dem $$x^2$$.

    $$4x^2+12x-4=12   |:4$$
    $$x^2+3x-1=3$$

  • Stelle die Gleichung um.
    $$x^2+3x-1=3   |+1$$
    $$x^2+3x=4$$

  • Addiere die quadratische Ergänzung.
    $$x^2+3x+1,5^2=4+1,5^2$$

  • Bilde das Binom.
    $$(x+1,5)^2=6,25$$

  • Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

    1. Fall: $$x+1,5=sqrt(6,25)$$

    2. Fall: $$x+1,5=-sqrt(6,25)$$

Lösung

1. Lösung: $$x+1,5=2,5 rArr x_1=1$$

2. Lösung: $$x+1,5=-2,5 rArrx_2=-4$$

Lösungsmenge $$L={-4;1}$$

Nachhilfe in Mathe, Englisch, Deutsch

Noch nicht kapiert?

kapiert.dekann mehr:

  • interaktive Übungen
    und Tests
  • individueller Klassenarbeitstrainer
  • Lernmanager




kapiert.de passt zu deinem Schulbuch!   Buchreihen Mathematik   mein Schulbuch suchen

Noch nicht kapiert?

Screenshot kapiert.de Mathe Aufgaben EdM

Das Thema macht dir noch Schwierigkeiten?
Teste drei Tage das Lernportal von kapiert.de!

  • Interaktive Übungen helfen dir beim Lernen.
  • Videos, Audios und Grafiken erklären dir jedes Thema.
  • Mit dem Klassenarbeitstrainer bereitest du dich auf deine Mathe-Klausur vor.
  • Mit dem Lernmanager hast du alle Aufgaben im Blick.

 

Genau das Richtige lernen – mit kapiert.de drei Tage kostenlos. Die Testlizenz endet automatisch!

Das Kennwort muss mindestens 5 Zeichen lang sein.

Die angegebenen Passwörter stimmen nicht überein!

* Pflichtfelder