Allgemeine quadratische Gleichungen lösen

Zur Erinnerung: Normalform

Quadratische Gleichungen kannst du am bequemsten lösen, wenn sie in Normalform sind. Normalform heißt: $$1$$ vor $$x^2$$ und eine $$0$$ auf der anderen Seite des $$=$$.
Allgemein: $$x^2+px+q=0$$

So geht das mit der quadratischen Ergänzung:

Löse die Gleichung $$x^2-3*x+2=0$$.

Lösungsschritte

  • Stelle die Gleichung um.
    $$x^2-3*x+2=0   |-2$$
    $$x^2-3x=-2$$
  • Addiere die quadratische Ergänzung.
    $$x^2-3x$$$$+1,5^2$$$$=-2$$$$+1,5^2$$

  • Bilde das Binom.
    $$(x-1,5)^2=0,25$$

  • Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

    1. Fall: $$x-1,5=sqrt(0,25)$$

    2. Fall: $$x-1,5=-sqrt(0,25)$$

Lösung

1. Lösung: $$x-1,5=0,5 rArr x_1=2$$

2. Lösung: $$x-1,5=-0,5 rArrx_2=1$$

Lösungsmenge $$L={1;2}$$

Allgemeine Form

Aber wie gehst du vor, wenn deine Gleichung nicht in Normalform steht? Sondern so allgemein: $$a*x^2+b*x+c=0$$

Beispiel

$$2x^2+2x-12=0$$
Du kannst eine quadratische Ergänzung nur auf quadratische Gleichungen in Normalform anwenden. Also: Stelle zuerst die Normalform her.

Lösungsschritte

  • Teile die gesamte Gleichung (beide Seiten der Gleichung) durch den Faktor vor dem $$x^2$$.

    $$2x^2+2x-12=0   |:2$$
    $$x^2+x-6=0$$

    Ab hier läuft die quadratische Ergänzung so, wie du sie kennst.

  • Stelle die Gleichung um.
    $$x^2+x-6=0   |+6$$
    $$x^2+x=6$$

  • Addiere die quadratische Ergänzung. $$x^2+x+(1/2)^2=6+(1/2)^2$$

  • Bilde das Binom.
    $$(x+1/2)^2=6,25$$
  • Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

    1. Fall: $$x+1/2=sqrt(6,25)$$

    2. Fall: $$x+1/2=-sqrt(6,25)$$

Lösung

1. Lösung: $$x+1/2=2,5 rArr x_1=2$$

2. Lösung: $$x+1/2=-2,5 rArrx_2=-3$$

Lösungsmenge $$L={-3;2}$$

Liegt die quadratische Gleichung in allgemeiner Form vor, teilst du sie zuerst durch den Faktor vor dem $$x^2$$.

Noch ein Beispiel

Löse die Gleichung $$4x^2+12x-4=12$$.

Lösungsschritte

  • Teile die gesamte Gleichung (beide Seiten der Gleichung) durch den Faktor vor dem $$x^2$$.

    $$4x^2+12x-4=12   |:4$$
    $$x^2+3x-1=3$$

  • Stelle die Gleichung um.
    $$x^2+3x-1=3   |+1$$
    $$x^2+3x=4$$

  • Addiere die quadratische Ergänzung.
    $$x^2+3x+1,5^2=4+1,5^2$$

  • Bilde das Binom.
    $$(x+1,5)^2=6,25$$

  • Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel (mit Fallunterscheidung).

    1. Fall: $$x+1,5=sqrt(6,25)$$

    2. Fall: $$x+1,5=-sqrt(6,25)$$

Lösung

1. Lösung: $$x+1,5=2,5 rArr x_1=1$$

2. Lösung: $$x+1,5=-2,5 rArrx_2=-4$$

Lösungsmenge $$L={-4;1}$$

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