Anwendungsaufgaben mit linearen Gleichungen

Alltag: Lehrer in der Schule

Aufgabe: In einer Schule gibt es insgesamt $$83$$ Lehrkräfte. Es gibt $$13$$ Lehrer mehr als Lehrerinnen. Wie viele Lehrer und wie viele Lehrerinnen arbeiten an der Schule?

(1) Bestimme, wofür die Variable steht.

x: Anzahl der Lehrerinnen

Demnach gibt es $$(x + 13)$$ Lehrer.

(2) Stelle eine Gleichung auf.

$$x + (x+13) = 83$$

(3) Löse die Gleichung.

$$x + (x+13) = 83$$ | Klammern auflösen

$$x + x+13 = 83$$ | zusammenfassen

$$2x + 13 = 83$$ | $$-13$$

$$2x = 70$$ | $$:2$$

$$x = 35$$

(4) Prüfe, ob dein Ergebnis zur Aufgabenstellung passt.

$$x = 35$$ für die Anzahl der Lehrerinnen ist realistisch.

(5) Beantworte die Frage.

Es arbeiten $$35$$ Lehrerinnen und $$48$$ Lehrer ($$13$$ mehr Lehrer als Lehrerinnen) an der Schule.

(1) Bestimme als Erstes, wofür die Variable stehen soll. Einen Hinweis findest du in der Fragestellung.
(2) Stelle eine Gleichung auf.
(3) Löse die Gleichung.
(4) Prüfe, ob dein Ergebnis zur Aufgabenstellung passt.
(5) Beantworte die Frage im Ausgangsproblem. Formuliere einen vollständigen Satz. Vergiss nicht die korrekten Einheiten!

Alltag: Theaterbesuch

Aufgabe: Du gehst mit deinen Freunden, deren Eltern und deinen Eltern ins Kino. Insgesamt seid ihr $$21$$ Personen. Die Kinokarte kostet für Erwachsene $$9$$ €, für Schüler/innen gibt es zwei Euro Ermäßigung. Insgesamt gebt ihr $$165$$ € aus. Wie viele Erwachsene und wie viele Schüler/innen sind in deiner Gruppe?

(1) Bestimme, wofür die Variable steht.

$$x$$: Anzahl der Erwachsenen

Demnach sind in deiner Gruppe $$(21-x)$$ Schüler/innen.

(2) Stelle eine Gleichung auf.

$$9x + 7*(21 - x) = 165$$

(3) Löse die Gleichung.

$$9x + 7(21 - x) = 165$$ | Klammern auflösen

$$9x + 147 - 7x = 165$$ | zusammenfassen

$$2x + 147 = 165$$ | $$-147$$

$$2x = 18$$ | $$:$$$$2$$

$$x = 9$$

(4) Prüfe, ob dein Ergebnis zur Aufgabenstellung passt.

$$x = 9$$ für die Anzahl der Erwachsenen ist realistisch.

(5) Beantworte die Frage.

Es sind $$9$$ Erwachsene und $$12$$ ($$= 21 - 9$$) Schüler/innen in der Gruppe.

(1) Bestimme als Erstes, wofür die Variable stehen soll. Einen Hinweis findest du in der Fragestellung.
(2) Stelle eine Gleichung auf.
(3) Löse die Gleichung.
(4) Prüfe, ob dein Ergebnis zur Aufgabenstellung passt.
(5) Beantworte die Frage im Ausgangsproblem. Formuliere einen vollständigen Satz. Vergiss nicht die korrekten Einheiten!

Zahlenrätsel

Aufgabe: Christian sagt zu Julia: „Ich kann hellsehen. Denk dir eine Zahl und addiere $$8$$. Multipliziere das Ergebnis mit $$5$$ und ziehe deine gedachte Zahl ab. Teile das Ergebnis durch $$4$$, und nenne mir die Zahl, die du erhältst.“
Julia denkt sich die Zahl $$6$$. Nach Durchführung der Rechenschritte ist ihr Ergebnis $$16$$. Das sagt sie Christian. Der sagt sofort: „Du hast dir die $$6$$ gedacht. Denn dein Ergebnis muss $$10$$ mehr sein als deine gedachte Zahl.“
Stimmt das?

(1) Bestimme, wofür die Variable steht.

$$x$$: die von Julia gedachte Zahl

(2) Stelle eine Gleichung auf.

$$((x+8)*5-x):4=x+10$$

(3) Löse die Gleichung.

Klammern auflösen (von innen nach außen)

$$(5x+40-x):4=x+10$$

$$(4x+40):4=x+10$$

$$x+10=x+10$$

(4) Prüfe, ob dein Ergebnis zur Aufgabenstellung passt.

Diese Aussage ist immer richtig, also gilt die Gleichung für alle rationalen Zahlen.

(5) Beantworte die Frage.

Ja, Christians Aussage ist richtig.

(1) Bestimme als Erstes, wofür die Variable stehen soll. Einen Hinweis findest du in der Fragestellung.
(2) Stelle eine Gleichung auf.
(3) Löse die Gleichung.
(4) Prüfe, ob dein Ergebnis zur Aufgabenstellung passt.
(5) Beantworte die Frage im Ausgangsproblem. Formuliere einen vollständigen Satz. Vergiss nicht die korrekten Einheiten!

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Altersrätsel

Aufgabe: Christian und seine Mutter sind zusammen $$56$$ Jahre alt. In $$14$$ Jahren ist Christians Mutter doppelt so alt wie ihr Sohn. Wie alt ist Christian heute?

(1) Bestimme, wofür die Variable steht.

$$x$$: Christians Alter in Jahren

Demnach ist die Mutter heute $$(56 - x)$$ Jahre alt.

Christians Alter in $$14$$ Jahren: $$x + 14$$

Alter der Mutter in $$14$$ Jahren: $$(56 - x) + 14$$

(2) Stelle eine Gleichung auf.

$$2(x + 14) = (56 - x) + 14$$

(3) Löse die Gleichung.

$$2(x + 14) = (56 - x) + 14$$ | Klammern auflösen

$$2x + 28 = 56 - x + 14$$ | zusammenfassen

$$2x + 28 = 70 - x$$ | $$+ x$$

$$3x + 28 = 70$$ | $$- 28$$

$$3x = 42$$ | $$:$$$$3$$

$$x = 14$$

(4) Prüfe, ob dein Ergebnis zur Aufgabenstellung passt.

$$x = 14$$ für Christians Alter ist realistisch.

(5) Beantworte die Frage.

Christian ist heute $$14$$ Jahre alt.

(1) Bestimme als Erstes, wofür die Variable stehen soll. Einen Hinweis findest du in der Fragestellung.
(2) Stelle eine Gleichung auf.
(3) Löse die Gleichung.
(4) Prüfe, ob dein Ergebnis zur Aufgabenstellung passt.
(5) Beantworte die Frage im Ausgangsproblem. Formuliere einen vollständigen Satz. Vergiss nicht die korrekten Einheiten!

Geometrie

Aufgabe: In einem Dreieck ist Winkel $$beta$$ doppelt so groß wie Winkel $$alpha$$. Winkel $$gamma$$ ist $$20°$$ größer als Winkel $$alpha$$. Berechne die Größe der drei Winkel.

(1) Bestimme, wofür die Variable steht.

$$x$$: Winkel $$alpha$$

Demnach gilt:

$$2x$$: Winkel $$beta$$

$$x + 20$$: Winkel $$gamma$$

(2) Stelle eine Gleichung auf.

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $$180°$$.

$$x + (2x) + (x + 20) = 180$$

(3) Löse die Gleichung.

$$x + (2x) + (x + 20) = 180$$ | Klammern auflösen

$$x + 2x + x + 20 = 180$$ | zusammenfassen

$$4x + 20 = 180$$ | $$-20$$

$$4x = 160 $$ | $$:$$$$4$$

$$x = 40$$

(4) Prüfe, ob dein Ergebnis zur Aufgabenstellung passt.

$$x = 40°$$ als Winkelgröße für $$alpha$$ ist realistisch.

(5) Beantworte die Frage.

Die Winkelgrößen in dem Dreieck sind wie folgt:

$$alpha = 40°$$, $$beta = 80°$$ (doppelt so groß wie $$alpha$$), $$gamma = 60°$$ ($$20°$$ mehr als $$alpha$$).

Kontrolle: $$40° + 80° + 60° = 180°$$

(1) Bestimme als Erstes, wofür die Variable stehen soll. Einen Hinweis findest du in der Fragestellung.
(2) Stelle eine Gleichung auf.
(3) Löse die Gleichung.
(4) Prüfe, ob dein Ergebnis zur Aufgabenstellung passt.
(5) Beantworte die Frage im Ausgangsproblem. Formuliere einen vollständigen Satz. Vergiss nicht die korrekten Einheiten!



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