2. Potenzgesetz (gleiche Exponenten)

Und noch eine zeitsparende Regel

Wenn du Potenzen mit verschiedenen Basen, aber gleichem Exponenten, malnehmen willst, kannst du sie erst einmal als Produkte schreiben, die Faktoren neu sortieren und dann das Ganze wieder als Potenz schreiben.

$$2^2*3^2 = 2 * 2*  3*3=2*3*2*3=(2*3)*(2*3)$$ $$=6*6=6^2 $$

└────────────────┘     └────────┘

Reihenfolge vertauschen            klammern

Es geht aber auch schneller:

$$2^2*3^2=(2*3)^2=6^2$$

Du kannst die Gleichheit bestätigen:
$$2^2*3^2=4*9=36$$ und $$6^2=6*6=36$$


Das geht natürlich auch für Variable:

$$x^3*y^3 = x*x*x*  y*y*y=x*y*x*y*x*y$$

└─────────────────────────┘ 

Reihenfolge vertauschen

$$=(x*y)*(x*y)*(x*y)$$ $$=(x*y)^3$$
    └──────────────┘
      klammern

Oder einfach: $$x^3*y^3=(x*y)^3$$

2. Potenzgesetz - Teil 1
Willst du Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren, multipliziere die Basen und behalte den Exponenten unverändert bei.

$$a^n*b^n=(a*b)^n$$

Und mit Brüchen

Auch beim 2. Potenzgesetz erhältst du eine Regel für die Division von Potenzen mit gleichem Exponenten.

$$2^2:3^2 =2^2/3^2=(2*2)/(3*3)=2/3*2/3=(2/3)^2 $$

Oder einfach: $$2^2:3^2 =2^2/3^2=(2/3)^2 $$


Du kannst die Gleichheit bestätigen:

$$2^2:3^2 =2^2/3^2=4/9 $$ und $$(2/3)^2 =2/3*2/3=4/9$$


Für Variable geht’s genauso:

$$x^3:y^3 = x^3/y^3=(x*x*x)/(y*y*y)=x/y*x/y*x/y=(x/y)^3$$

Oder einfach: $$x^3:y^3=x^3/y^3=(x/y)^3$$

2. Potenzgesetz - Teil 2
Willst du Potenzen mit gleichem Exponenten dividieren, dividiere die Basen und behalte den Exponenten unverändert bei.

$$a^n:b^n=(a^n)/(b^n)=(a/b)^n=(a:b)^n$$

Für die Multiplikation von Brüchen gilt

$$ ("Zähler mal Zähler") / (\text{Nenner mal Nenner $$

Mit Tricks arbeiten

Manchmal ist bei Aufgaben nicht ganz offensichtlich, wie du welche Regel nimmst. Forme dann den Term so um, dass du die Regel gut anwenden kannst.

Beispiel 1:
$$2^2*3^(-2) =2^2*1/3^2=( 2*2)/(3*3)$$

$$= 2 * 2*  1/3*1/3=2*1/3*2*1/3=2/3*2/3=(2/3)^2 $$
  └───────────────────┘      └────────┘
   Reihenfolge vertauschen           umschreiben

Oder einfach: $$2^2*3^(-2) =2^2/3^2=(2/3)^2 $$

Schreibe die Aufgabe „passend“ für die Regel.


Beispiel 2: Mit Variablen

Ziemlich umständlich:
$$x^3:y^(-3) = x^3*1/y^3=(x*x*x)*1/(y*y*y)$$

$$=(x*x*x)/(y*y*y)=x/y*x/y*x/y=(x/y)^3$$

Oder einfach: $$x^3*y^(-3)=x^3/y^3=(x/y)^3$$

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Und noch ein Trick!

Du kennst die Aufgabenstellung: „Vereinfache so weit wie möglich.“ Nur weißt du oft nicht, wie du anfangen sollst. Mathematische Regeln kannst du fast immer vorwärts und rückwärts anwenden.

Beispiel 1:

$$2^3*6^(-3) = 2^3/6^3=(2^3)/((2*3)^3)=(2^3)/(2^3*3^3)=1/3^3=1/27$$

Um den Term vereinfachen zu können, zerlegst du $$6=2*3$$ in Faktoren. Dann kannst du das 2. Potenzgesetz rückwärts anwenden und anschließend kürzen.

Beispiel 2:

$$(2/3)^3*2^(-3)=2^3/3^3*1/2^3=2^3/(3^3*2^3)=1/3^3=1/27$$

Hier kannst du das 2. Potenzgesetz für die Division für den ersten Faktor $$(2/3)^3$$ und die Definition von Potenzen mit negativem Exponenten für $$2^(-3)$$ anwenden. Danach hältst du dich an die Bruchrechenregeln.


Du kannst einen Bruch kürzen, indem du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividierst.


Wenn du einen Term vereinfachen sollst, ist damit oft das Kürzen eines Bruchs gemeint.

Raffiniert kombiniert!

Wenn du einen Term mit Potenzen vereinfachen sollst, musst du wissen, ob du das erste oder das zweite Potenzgesetz anwenden kannst. Oder sogar beide!

Versteckt!

$$2^4/6^2 =2^4/(2*3)^2=2^4/(2^2*3^2)=2^4/2^2*1/3^2=2^(4-2)*1/3^2=2^2*1/3^2=4/9 $$

Auf den ersten Blick passt hier keines der beiden Gesetze. Du nutzt aus, dass $$6=2*3$$ ein Produkt ist, sodass du für den Nenner des Bruchs das 2. Potenzgesetz - rückwärts - anwenden kannst: $$6^2 =(2*3)^2=2^2*3^2$$.
Wenn du das richtig gemacht hast, kannst du das 1. Potenzgesetz zum Kürzen mit $$2^2$$ anwenden. Dann rechnest du nur noch zu Ende.



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